9 класс Подготовка к ОГЭ. вариант 18 1. В треугольнике АВС известно, что АВ = 6, ВС = 8, АС = 4. Найдите cos ABC. 2. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке К. Другая прямая пересекает окружность в точках В и С, причем АВ = 4, BC = 12. Найдите АК. 3. Основания трапеции равны 4 и 14, а A высота равна 8. Найдите среднюю линию этой трапеции. 4. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображена фигура. Найдите её площадь. 5. Какие из следующих утверждений верны? 1) Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую. 2) Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в точке, являющейся центром окружности, описанной около этого треугольника. 3) Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то этот паралллелограмм является ромбом. В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

1. Найдём cos∠ABC.

Для нахождения косинуса угла ABC используем теорему косинусов:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot cos∠ABC\]

Подставим известные значения: AB = 6, BC = 8, AC = 4.

\[4^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot cos∠ABC\]

\[16 = 36 + 64 - 96 \cdot cos∠ABC\]

\[16 = 100 - 96 \cdot cos∠ABC\]

\[96 \cdot cos∠ABC = 100 - 16\]

\[96 \cdot cos∠ABC = 84\]

\[cos∠ABC = \frac{84}{96}\]

\[cos∠ABC = \frac{7}{8}\]

\[cos∠ABC = 0.875\]

Ответ: 0.875

2. Найдём AK.

По теореме о касательной и секущей:

\[AK^2 = AB \cdot AC\]

Из условия известно, что AB = 4 и BC = 12, следовательно AC = AB + BC = 4 + 12 = 16.

\[AK^2 = 4 \cdot 16\]

\[AK^2 = 64\]

\[AK = \sqrt{64}\]

\[AK = 8\]

Ответ: 8

3. Найдём среднюю линию трапеции.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

\[m = \frac{a + b}{2}\]

где a и b - основания трапеции. В нашем случае a = 4 и b = 14.

\[m = \frac{4 + 14}{2}\]

\[m = \frac{18}{2}\]

\[m = 9\]

Ответ: 9

4. Найдём площадь фигуры.

Посчитаем количество клеток, составляющих фигуру. Фигура состоит из 17 полных клеток.

Ответ: 17

5. Какие из следующих утверждений верны?

1) Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую. - Неверно. Через заданную точку можно провести бесконечно много прямых.

2) Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в точке, являющейся центром окружности, описанной около этого треугольника. - Верно. Это свойство серединных перпендикуляров.

3) Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то этот параллелограмм является ромбом. - Верно. Это определение ромба.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Ответ: 23