8 класс S-? 2 ГЕОМЕТРИЯ P-? Контрольная работа №5 по теме «Теорема Пифагора» Вариант ІІ 1. Катеты прямоугольного треугольника равны 24 см и 7 см. Найди гипотенузу данного треугольника. 2. Сторона прямоугольника равна 6 а диагональ 10. Найдите другую сторону прямоугольника. 3. Найдите неизвестный катет и площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 20 дм, а второй катет равен 16 дм. 4. Найдите высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 4 см. 5. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее меньшее основание равно 7 см, боковая сторона 13 см, высота 12 см.

1. Катеты прямоугольного треугольника равны 24 см и 7 см. Найди гипотенузу данного треугольника.

Решение:

По теореме Пифагора:

\[c = \sqrt{a^2 + b^2}\]

где c - гипотенуза, a и b - катеты.

Подставляем значения:

\[c = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25\]

Ответ: 25 см

2. Сторона прямоугольника равна 6, а диагональ - 10. Найдите другую сторону прямоугольника.

Решение:

Пусть a = 6, c = 10 (диагональ).

По теореме Пифагора:

\[a^2 + b^2 = c^2\]

Подставляем значения:

\[6^2 + b^2 = 10^2\] \[36 + b^2 = 100\] \[b^2 = 100 - 36 = 64\] \[b = \sqrt{64} = 8\]

Ответ: 8

3. Найдите неизвестный катет и площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 20 дм, а второй катет равен 16 дм.

Решение:

Пусть c = 20 дм, b = 16 дм.

По теореме Пифагора:

\[a^2 + b^2 = c^2\]

Подставляем значения:

\[a^2 + 16^2 = 20^2\] \[a^2 + 256 = 400\] \[a^2 = 400 - 256 = 144\] \[a = \sqrt{144} = 12\]

Площадь прямоугольного треугольника:

\[S = \frac{1}{2}ab\]

Подставляем значения:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 6 \cdot 16 = 96\]

Ответ: 12 дм, 96 дм^2

4. Найдите высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 4 см.

Решение:

Высота в равностороннем треугольнике:

\[h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\]

Подставляем значения:

\[h = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\]

Ответ: \(2\sqrt{3}\) см

5. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее меньшее основание равно 7 см, боковая сторона - 13 см, высота - 12 см.

Решение:

Высота, опущенная из вершины меньшего основания, образует прямоугольный треугольник с боковой стороной и частью большего основания.

Обозначим эту часть большего основания за x:

\[x = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5\]

Тогда большее основание:

\[b = 7 + 2 \cdot 5 = 7 + 10 = 17\]

Площадь трапеции:

\[S = \frac{a + b}{2} \cdot h\]

Подставляем значения:

\[S = \frac{7 + 17}{2} \cdot 12 = \frac{24}{2} \cdot 12 = 12 \cdot 12 = 144\]

Ответ: 144 см²