Когда орлы и решки коррелируют (3 балла) Участнику предлагается следующая игра. Сначала запускается колесо фортуны, которое равновероятно показывает одно из чисел 1, 2,..., k, где k – натуральное число. Выпавшее число обозначим через N. После этого участник подбрасывает симметричную монету ровно N раз. Пусть ξ – количество выпавших орлов, а η – количество выпавших решек. Найдите коэффициент корреляции ρ случайных величин ξ и η. В ответе запишите значение ρ. Ответ округлять необязательно. Допустимая погрешность ±10⁻³. Решите задачу для k = 14.0.

Решение:

Пусть \( N \) — число, выпавшее на колесе фортуны, \( \xi \) — число орлов, \( \eta \) — число решек. По условию, \( N \) принимает значения от 1 до \( k \) с равной вероятностью \( \frac{1}{k} \).

Количество подбрасываний монеты равно \( N \). Таким образом, \( \xi + \eta = N \). Вероятность выпадения орла равна \( 0.5 \), а решки — \( 0.5 \). Следовательно, \( \xi \) — это биномиально распределенная случайная величина \( B(N, 0.5) \).

Математическое ожидание числа орлов при \( N \) бросках равно \( E(\xi | N) = N \cdot 0.5 \).

Математическое ожидание числа решек равно \( E(\eta | N) = N \cdot 0.5 \).

Дисперсия числа орлов равна \( D(\xi | N) = N \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 0.25 N \).

Дисперсия числа решек равна \( D(\eta | N) = N \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 0.25 N \).

Ковариация между \( \xi \) и \( \eta \) равна \( Cov(\xi, \eta | N) = E(\xi \eta | N) - E(\xi | N) E(\eta | N) \).

Так как \( \eta = N - \xi \), то \( \xi \eta = \xi(N - \xi) = N\xi - \xi^2 \).

\( E(\xi \eta | N) = E(N\xi - \xi^2 | N) = N E(\xi | N) - E(\xi^2 | N) \).

Мы знаем, что \( D(\xi | N) = E(\xi^2 | N) - (E(\xi | N))^2 \). Отсюда \( E(\xi^2 | N) = D(\xi | N) + (E(\xi | N))^2 = 0.25 N + (0.5 N)^2 = 0.25 N + 0.25 N^2 \).

Тогда \( E(\xi \eta | N) = N (0.5 N) - (0.25 N + 0.25 N^2) = 0.5 N^2 - 0.25 N - 0.25 N^2 = 0.25 N^2 - 0.25 N \).

\( Cov(\xi, \eta | N) = (0.25 N^2 - 0.25 N) - (0.5 N)(0.5 N) = 0.25 N^2 - 0.25 N - 0.25 N^2 = -0.25 N \).

Коэффициент корреляции \( \rho(\xi, \eta | N) = \frac{Cov(\xi, \eta | N)}{\sqrt{D(\xi | N) D(\eta | N)}} = \frac{-0.25 N}{\sqrt{(0.25 N)(0.25 N)}} = \frac{-0.25 N}{0.25 N} = -1 \).

Это корреляция при фиксированном \( N \). Теперь нужно усреднить по \( N \).

\( E(N) = \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} i = \frac{1}{k} \frac{k(k+1)}{2} = \frac{k+1}{2} \).

\( E(N^2) = \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} i^2 = \frac{1}{k} \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} = \frac{(k+1)(2k+1)}{6} \).

\( E(\xi) = E(E(\xi | N)) = E(0.5 N) = 0.5 E(N) = 0.5 \frac{k+1}{2} = \frac{k+1}{4} \).

\( E(\eta) = E(E(\eta | N)) = E(0.5 N) = 0.5 E(N) = 0.5 \frac{k+1}{2} = \frac{k+1}{4} \).

\( D(\xi) = E(D(\xi | N)) + D(E(\xi | N)) = E(0.25 N) + D(0.5 N) = 0.25 E(N) + 0.5^2 D(N) \).

\( D(N) = E(N^2) - (E(N))^2 = \frac{(k+1)(2k+1)}{6} - (\frac{k+1}{2})^2 = \frac{(k+1)(2k+1)}{6} - \frac{(k+1)^2}{4} = (k+1) [\frac{2k+1}{6} - \frac{k+1}{4}] = (k+1) [\frac{2(2k+1) - 3(k+1)}{12}] = (k+1) [\frac{4k+2 - 3k-3}{12}] = \frac{(k+1)(k-1)}{12} = \frac{k^2-1}{12} \).

\( D(\xi) = 0.25 \frac{k+1}{2} + 0.25 \frac{k^2-1}{12} = \frac{k+1}{8} + \frac{k^2-1}{48} = \frac{6(k+1) + k^2-1}{48} = \frac{6k+6+k^2-1}{48} = \frac{k^2+6k+5}{48} = \frac{(k+1)(k+5)}{48} \).

\( D(\eta) = D(\xi) = \frac{(k+1)(k+5)}{48} \).

\( Cov(\xi, \eta) = E(Cov(\xi, \eta | N)) + Cov(E(\xi | N), E(\eta | N)) \) (По формуле Лоусса)

\( Cov(\xi, \eta) = E(-0.25 N) + Cov(0.5 N, 0.5 N) = -0.25 E(N) + 0.5^2 Cov(N, N) = -0.25 E(N) + 0.25 D(N) \).

\( Cov(\xi, \eta) = -0.25 \frac{k+1}{2} + 0.25 \frac{k^2-1}{12} = -\frac{k+1}{8} + \frac{k^2-1}{48} = \frac{-6(k+1) + k^2-1}{48} = \frac{-6k-6+k^2-1}{48} = \frac{k^2-6k-7}{48} = \frac{(k-7)(k+1)}{48} \).

\( \rho(\xi, \eta) = \frac{Cov(\xi, \eta)}{\sqrt{D(\xi) D(\eta)}} = \frac{\frac{(k-7)(k+1)}{48}}{\sqrt{(\frac{(k+1)(k+5)}{48})^2}} = \frac{(k-7)(k+1)}{48} \frac{48}{(k+1)(k+5)} = \frac{k-7}{k+5} \).

В данном случае \( k = 14.0 \).

\( \rho(\xi, \eta) = \frac{14-7}{14+5} = \frac{7}{19} \).

\( \frac{7}{19} \approx 0.368421... \).

Округляем до \( 10^{-3} \), получаем \( 0.368 \).

Ответ: 0.368