Коллекционер-нумизмат раздобыл для своей коллекции 50 британских 12-угольных монет. Диаметр монеты (диаметр описанной окружности) равен 22 мм, толщина монеты равна 2,6 мм. Для хранения требуется покрыть монеты лаком. Расход лака – 0,0001 г/мм², плотность лака – 0,9 г/мл. Выберите флакон с минимальным количеством лака, которого будет достаточно для покрытия 50 монет. Найдите площадь полной поверхности S монеты.

Решение:

Задача состоит из двух частей: сначала нужно найти площадь полной поверхности монеты, а затем рассчитать необходимый объем лака.

1. Площадь полной поверхности монеты

Монета представляет собой цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра складывается из площади двух оснований (кругов) и площади боковой поверхности.

Дано:
Диаметр монеты (описанной окружности) \( d = 22 \) мм.
Толщина монеты (высота цилиндра) \( h = 2,6 \) мм.

Найти:
Площадь полной поверхности монеты \( S \).

1. Радиус монеты:
\( r = \frac{d}{2} = \frac{22 \text{ мм}}{2} = 11 \) мм.

2. Площадь одного основания (круга):
\( S_{осн} = \pi r^2 = \pi (11 \text{ мм})^2 = 121\pi \text{ мм}^2 \).

3. Площадь боковой поверхности цилиндра:
\( S_{бок} = 2\pi rh = 2\pi (11 \text{ мм})(2,6 \text{ мм}) = 57,2\pi \text{ мм}^2 \).

4. Площадь полной поверхности монеты:
\( S = 2 S_{осн} + S_{бок} = 2(121\pi \text{ мм}^2) + 57,2\pi \text{ мм}^2 = 242\pi \text{ мм}^2 + 57,2\pi \text{ мм}^2 = 299,2\pi \text{ мм}^2 \).

Приближенное значение \( \pi \approx 3,14 \):
\( S \approx 299,2 \times 3,14 \text{ мм}^2 \approx 939,488 \text{ мм}^2 \).

2. Расчет необходимого количества лака

Дано:
Количество монет = 50 шт.
Площадь покрытия одной монеты \( S \approx 939,488 \text{ мм}^2 \).
Расход лака = 0,0001 г/мм².

1. Общая площадь покрытия всех монет:
\( S_{общ} = 50 \times S \approx 50 \times 939,488 \text{ мм}^2 \approx 46974,4 \text{ мм}^2 \).

2. Общая масса лака, необходимая для покрытия:
\( m_{лака} = S_{общ} \times \text{Расход лака} \approx 46974,4 \text{ мм}^2 \times 0,0001 \text{ г/мм}^2 \approx 4,69744 \text{ г} \).

3. Объем лака, необходимый для покрытия:
Плотность лака \( \rho = 0,9 \text{ г/мл} \).
\( V_{лака} = \frac{m_{лака}}{\rho} \approx \frac{4,69744 \text{ г}}{0,9 \text{ г/мл}} \approx 5,219 \text{ мл} \).

Поскольку требуется выбрать флакон с минимальным количеством лака, достаточным для покрытия 50 монет, выбираем флакон объемом, близким к 5,219 мл.

Ответ: Площадь полной поверхности монеты S = 299,2\(\pi\) мм² (или приблизительно 939,49 мм²).