Комплексная работа по математике и физике для проведения вступительных испытаний при проведении индивидуального отбора

МАТЕМАТИКА

Задание 1. (1 балл) Решите систему неравенств и укажите все целые числа, которые являются ее решением:

\( \begin{cases} 6x - 1 > 3 - x \\ 2x - 4 < x \end{cases} \)

Решение:

1. Решаем первое неравенство: \( 6x - 1 > 3 - x \Rightarrow 7x > 4 \Rightarrow x > \frac{4}{7} \).
2. Решаем второе неравенство: \( 2x - 4 < x \Rightarrow x < 4 \).
3. Объединяем решения: \( \frac{4}{7} < x < 4 \).
4. Целые числа, удовлетворяющие этому условию: 1, 2, 3.

Ответ: 1, 2, 3.

Задание 2. (1 балл) Решите уравнение:

\( \frac{x^2 - 3}{2} - 6x = 5 \)

Решение:

1. Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя: \( x^2 - 3 - 12x = 10 \).
2. Приведем уравнение к стандартному виду: \( x^2 - 12x - 13 = 0 \).
3. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-13) = 144 + 52 = 196 \).
4. Найдем корни: \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + 14}{2} = 13 \), \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - 14}{2} = -1 \).

Ответ: x₁ = 13, x₂ = -1.

Задание 3. (1 балл) Параллелограмм ABCD пересекаются в точке О. Найдите BC, если AB = 24 см.

Решение:

В параллелограмме противоположные стороны равны. Следовательно, BC = AD и AB = CD. Так как AB = 24 см, то CD = 24 см.

Диагонали параллелограмма пересекаются в точке О. Это означает, что точка О является серединой каждой диагонали. Однако, данная информация (пересечение диагоналей в точке О) и условие AB = 24 см не позволяют однозначно найти длину стороны BC, так как неизвестны длины диагоналей или углы параллелограмма. Для нахождения BC требуется дополнительная информация.

Ответ: Недостаточно данных для решения.

Задание 4. (2 балла) Теплоход, собственная скорость которого 18 км/ч, прошёл 50 км по течению реки и 8 км против течения, затратив на весь путь 3 часа. Какова скорость течения реки?

Решение:

1. Пусть \( x \) км/ч — скорость течения реки.
2. Скорость теплохода по течению: \( 18 + x \) км/ч.
3. Скорость теплохода против течения: \( 18 - x \) км/ч.
4. Время в пути по течению: \( t_1 = \frac{50}{18 + x} \) часа.
5. Время в пути против течения: \( t_2 = \frac{8}{18 - x} \) часа.
6. Общее время в пути: \( t_1 + t_2 = 3 \) часа.
7. Составляем уравнение: \( \frac{50}{18 + x} + \frac{8}{18 - x} = 3 \).
8. Приведем к общему знаменателю \( (18 + x)(18 - x) \): \( 50(18 - x) + 8(18 + x) = 3(18 + x)(18 - x) \).
9. Раскроем скобки: \( 900 - 50x + 144 + 8x = 3(324 - x^2) \).
10. Упростим: \( 1044 - 42x = 972 - 3x^2 \).
11. Приведем к стандартному виду квадратного уравнения: \( 3x^2 - 42x + 1044 - 972 = 0 \) \( 3x^2 - 42x + 72 = 0 \).
12. Разделим на 3: \( x^2 - 14x + 24 = 0 \).
13. Найдем дискриминант: \( D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 196 - 96 = 100 \).
14. Найдем корни: \( x_1 = \frac{14 + 10}{2} = 12 \), \( x_2 = \frac{14 - 10}{2} = 2 \).
15. Проверяем условие, что скорость течения не может быть больше собственной скорости (иначе теплоход не поплывет против течения): \( x < 18 \). Оба корня подходят. Однако, если скорость течения 12 км/ч, то время в пути против течения составит \( 8 / (18 - 12) = 8 / 6 = 1.33 \) ч, а по течению \( 50 / (18 + 12) = 50 / 30 = 1.67 \) ч. Общее время \( 1.33 + 1.67 = 3 \) ч. Если скорость течения 2 км/ч, то время в пути против течения составит \( 8 / (18 - 2) = 8 / 16 = 0.5 \) ч, а по течению \( 50 / (18 + 2) = 50 / 20 = 2.5 \) ч. Общее время \( 0.5 + 2.5 = 3 \) ч. Оба решения верны. В задачах такого типа обычно подразумевается один ответ. Проверим условие задачи: