КОМПЛЕКТ № 5 Вариант 2 1. Решите уравнение 15-3х = x+1 2. Решите неравенство 3.5*25* > 370

Ответ: x = 1 и x = 14

1. Решение уравнения

Преобразуем уравнение \[\sqrt{15-3x} = x + 1\]

• Возводим обе части в квадрат: \[15 - 3x = (x + 1)^2\]
• Раскрываем скобки: \[15 - 3x = x^2 + 2x + 1\]
• Приводим к квадратному уравнению: \[x^2 + 5x - 14 = 0\]

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

• Дискриминант: \[D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81\]
• Корни уравнения: \[x_1 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2\] \[x_2 = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 - 9}{2} = \frac{-14}{2} = -7\]

2. Проверка корней

Проверяем, какие корни подходят в исходное уравнение.

• Проверка корня \(x = 2\): \[\sqrt{15 - 3 \cdot 2} = 2 + 1\] \[\sqrt{9} = 3\] \[3 = 3\] Корень \(x = 2\) подходит.
• Проверка корня \(x = -7\): \[\sqrt{15 - 3 \cdot (-7)} = -7 + 1\] \[\sqrt{15 + 21} = -6\] \[\sqrt{36} = -6\] \[6 = -6\] Корень \(x = -7\) не подходит, так как квадратный корень не может быть отрицательным.

3. Решение неравенства

Решаем неравенство \[3 \cdot 5^{x+2} - 5^x > 370\]

• Преобразуем: \[3 \cdot 5^x \cdot 5^2 - 5^x > 370\] \[3 \cdot 25 \cdot 5^x - 5^x > 370\] \[75 \cdot 5^x - 5^x > 370\] \[74 \cdot 5^x > 370\]
• Делим обе части на 74: \[5^x > \frac{370}{74}\] \[5^x > 5\]
• Решаем неравенство: \[x > 1\]

Ответ: x = 1 и x = 14