Кондитер испек 45 рогаликов. Известно, что 10 рогаликов он полил глазурью и 15 рогаликов посыпал сахарной пудрой. Некоторые рогалики могут быть одновременно и с глазурью, и с сахарной пудрой. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях без пробелов, запятых или других дополнительных символов. 1. Рогаликов, на которых есть и глазурь, и сахарная пудра, не может оказаться меньше 14. 2. Найдется 20 рогаликов, на которых нет ни глазури, ни сахарной пудры. 3. Рогаликов, на которых нет ни глазури, ни сахарной пудры, не может оказаться больше 30. 4. Найдется 12 рогаликов, на которых и глазурь, и сахарная пудра.

Давай разберемся с этой задачей!

Всего у нас 45 рогаликов. Из них:

• 10 рогаликов с глазурью.
• 15 рогаликов с сахарной пудрой.

Некоторые рогалики могут иметь и глазурь, и сахарную пудру одновременно. Обозначим:

• \[ G \] - множество рогаликов с глазурью
• \[ P \] - множество рогаликов с сахарной пудрой
• \[ |G| = 10 \]
• \[ |P| = 15 \]
• \[ |G \cup P| \le 45 \]

Нам нужно найти, какие утверждения верны.

1. Рогаликов, на которых есть и глазурь, и сахарная пудра, не может оказаться меньше 14.

Это утверждение неверно. Минимальное количество рогаликов с обоими покрытиями будет, когда рогалики с глазурью и рогалики с пудрой максимально пересекаются. Максимальное пересечение равно меньшему из двух множеств, то есть 10. В этом случае, рогаликов только с глазурью будет 0, только с пудрой - 5. А рогаликов без покрытий будет 45 - (10 + 5) = 30. Но условие, что «некоторые рогалики могут быть одновременно и с глазурью, и с сахарной пудрой» подразумевает, что такое пересечение возможно. Наименьшее число рогаликов с обоими покрытиями равно 0 (если множества не пересекаются), а наибольшее - 10 (если все с глазурью также имеют пудру).

2. Найдется 20 рогаликов, на которых нет ни глазури, ни сахарной пудры.

Пусть \[ x \] - количество рогаликов с обоими покрытиями. Тогда:

• Рогаликов только с глазурью: \[ 10 - x \]
• Рогаликов только с сахарной пудрой: \[ 15 - x \]
• Рогаликов без покрытий: \[ 45 - (10 - x) - (15 - x) - x = 45 - 10 + x - 15 + x - x = 45 - 25 + x = 20 + x \]

Так как \[ x \] (количество рогаликов с обоими покрытиями) может быть от 0 до 10, то количество рогаликов без покрытий может быть от \[ 20 + 0 = 20 \] до \[ 20 + 10 = 30 \]. Значит, 20 рогаликов без покрытий найдется (когда \[ x=0 \]). Это утверждение верно.

3. Рогаликов, на которых нет ни глазури, ни сахарной пудры, не может оказаться больше 30.

Из предыдущего пункта мы знаем, что количество рогаликов без покрытий равно \[ 20 + x \]. Максимальное значение \[ x \] равно 10 (когда все рогалики с глазурью также покрыты пудрой). В этом случае, количество рогаликов без покрытий будет \[ 20 + 10 = 30 \]. Таким образом, больше 30 рогаликов без покрытий быть не может. Это утверждение верно.

4. Найдется 12 рогаликов, на которых и глазурь, и сахарная пудра.

Это утверждение неверно. Количество рогаликов с обоими покрытиями \[ x \] может быть от 0 до 10. Оно не может равняться 12.

Итог: Верными являются утверждения 2 и 3.

Ответ: 23