Конор работа по теме. Процвя Найти производную функцик a) y = x² + x + 38mx +5 2) y=(7x+5) 2 8) y=ty+x. (3x+1) ctg 8x 6) J= x41 g) y= x²4x ② Напишите уравнение касателиетоте к графику ③ Дака ф-я у = х²-3x²+4. Xo=1 промежутки возрен убавя Найти: прол в) пагио-епраите зн-sna Ex;4) б) точки экстремума 4 Найти интеграли al a) S(x²+x²+5tdx 8) § (4cos4x+f sin olx 1 (-3x²)dx ⑤ Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=6-x y=x+4

Решение заданий

Задание 1: Найти производную функции

a) \(y = x^7 + \frac{1}{x^7} + 3\sin x + 5\)

Производная:

\[y' = 7x^6 - \frac{7}{x^8} + 3\cos x\]

г) \(y = (7x + 5)^8\)

Производная:

\[y' = 8(7x + 5)^7 \cdot 7 = 56(7x + 5)^7\]

в) \(y = \tan(x) \cdot (3x + 1)\)

Производная:

\[y' = \sec^2(x) \cdot (3x + 1) + \tan(x) \cdot 3\]

б) \(y = \frac{\cot(8x)}{x^4 + 1}\)

Производная:

\[y' = \frac{-\csc^2(8x) \cdot 8 \cdot (x^4 + 1) - \cot(8x) \cdot 4x^3}{(x^4 + 1)^2}\]

д) \(y = \sqrt{x^2 - 4x}\)

Производная:

\[y' = \frac{2x - 4}{2\sqrt{x^2 - 4x}} = \frac{x - 2}{\sqrt{x^2 - 4x}}\]

Задание 2: Напишите уравнение касательной к графику функции \(y = x^2 + 8x + 7\) в точке \(x_0 = -1\)

1. Находим значение функции в точке \(x_0 = -1\):

\[y(-1) = (-1)^2 + 8(-1) + 7 = 1 - 8 + 7 = 0\]

2. Находим производную функции:

\[y' = 2x + 8\]

3. Находим значение производной в точке \(x_0 = -1\):

\[y'(-1) = 2(-1) + 8 = -2 + 8 = 6\]

4. Уравнение касательной имеет вид:

\[y - y_0 = y'(x_0)(x - x_0)\]

Подставляем значения:

\[y - 0 = 6(x - (-1))\]

\[y = 6(x + 1)\]

\[y = 6x + 6\]

Ответ: \(y = 6x + 6\)

Задание 3: Дана функция \(y = x^3 - 3x^2 + 4\). Найти:

a) Промежутки возрастания и убывания

1. Находим производную:

\[y' = 3x^2 - 6x\]

2. Находим критические точки (где \(y' = 0\) или не существует):

\[3x^2 - 6x = 0\]

\[3x(x - 2) = 0\]

\[x = 0, x = 2\]

3. Определяем знаки производной на интервалах:

• \(x < 0\): \(y' > 0\) (функция возрастает)
• \(0 < x < 2\): \(y' < 0\) (функция убывает)
• \(x > 2\): \(y' > 0\) (функция возрастает)

Ответ: Функция возрастает на \((-\infty, 0)\) и \((2, +\infty)\), убывает на \((0, 2)\)

б) Точки экстремума

• В точке \(x = 0\) производная меняет знак с + на -, следовательно, это точка максимума.
• В точке \(x = 2\) производная меняет знак с - на +, следовательно, это точка минимума.

Ответ: \(x = 0\) - точка максимума, \(x = 2\) - точка минимума

в) Наибольшее и наименьшее значения на отрезке \([1; 4]\)

1. Вычисляем значения функции на концах отрезка:

\[y(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 4 = 1 - 3 + 4 = 2\]

\[y(4) = 4^3 - 3(4)^2 + 4 = 64 - 48 + 4 = 20\]

2. Вычисляем значение функции в критической точке \(x = 2\):

\[y(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0\]

Ответ: Наибольшее значение - 20, наименьшее значение - 0

Задание 4: Найти интегралы

a) \(\int (x^5 + x^7 + 5) dx\)

\[\int (x^5 + x^7 + 5) dx = \frac{x^6}{6} + \frac{x^8}{8} + 5x + C\]

б) \(\int_{-\pi}^{\pi} (4\cos(4x) + \frac{1}{3}\sin(x)) dx\)

\[\int_{-\pi}^{\pi} (4\cos(4x) + \frac{1}{3}\sin(x)) dx = \left[ \sin(4x) - \frac{1}{3}\cos(x) \right]_{-\pi}^{\pi}\]

\[= (\sin(4\pi) - \frac{1}{3}\cos(\pi)) - (\sin(-4\pi) - \frac{1}{3}\cos(-\pi))\]

\[= (0 + \frac{1}{3}) - (0 + \frac{1}{3}) = 0\]

Ответ: 0

в) \(\int_{1}^{3} (\frac{1}{x^2} - 3x^2) dx\)

\[\int_{1}^{3} (\frac{1}{x^2} - 3x^2) dx = \left[ -\frac{1}{x} - x^3 \right]_{1}^{3}\]

\[= (-\frac{1}{3} - 3^3) - (-1 - 1^3) = (-\frac{1}{3} - 27) - (-2) = -\frac{1}{3} - 27 + 2 = -25 - \frac{1}{3} = -\frac{76}{3}\]

Задание 5: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями \(y = 6 - x^2\) и \(y = x + 4\)

1. Находим точки пересечения:

\[6 - x^2 = x + 4\]

\[x^2 + x - 2 = 0\]

\[(x + 2)(x - 1) = 0\]

\[x = -2, x = 1\]

2. Интегрируем разность функций на интервале \([-2, 1]\):

\[\int_{-2}^{1} (6 - x^2 - (x + 4)) dx = \int_{-2}^{1} (2 - x^2 - x) dx\]

\[= \left[ 2x - \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_{-2}^{1}\]

\[= (2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2}) - (-4 + \frac{8}{3} - 2) = 2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 4 - \frac{8}{3} + 2 = 8 - \frac{9}{3} - \frac{1}{2} = 8 - 3 - \frac{1}{2} = 5 - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}\]

Ответ: \(\frac{9}{2}\)