Контрасьная работа 1 Вычислить a) log 1 16 5 1 27 b) log 2) 198+13 125 g) log27-Pog 16 2. Сравнить числа a) log log 2 3 4 2 c) log 135-109320 + 2 bang, 2 8) logos 12 u logo 13 -3 Ремить уравнения a) log x + log, x = 10 6) 19 x = 2 =

1. Вычислить:

a) \(\log_{\frac{1}{2}} 16\)

Логика такая: \(\left(\frac{1}{2}\right)^x = 16\), то есть \(2^{-x} = 2^4\). Отсюда \(-x = 4\), значит, \(x = -4\).

Ответ: -4

б) \(5^{1 + \log_5 3}\)

Логика такая: \(5^{1 + \log_5 3} = 5^1 \cdot 5^{\log_5 3} = 5 \cdot 3 = 15\)

Ответ: 15

в) \(\log_3 \frac{1}{27}\)

Логика такая: \(3^x = \frac{1}{27}\), то есть \(3^x = 3^{-3}\). Отсюда \(x = -3\).

Ответ: -3

г) \(\lg 8 + \lg 125\)

Логика такая: \(\lg 8 + \lg 125 = \lg (8 \cdot 125) = \lg 1000 = 3\)

Ответ: 3

д) \(\log_2 7 - \log_2 \frac{7}{16}\)

Логика такая: \(\log_2 7 - \log_2 \frac{7}{16} = \log_2 \frac{7}{\frac{7}{16}} = \log_2 16 = 4\)

Ответ: 4

е) \(\log_3 135 - \log_3 20 + 2 \log_3 2\)

Логика такая: \(\log_3 135 - \log_3 20 + 2 \log_3 2 = \log_3 \frac{135}{20} + \log_3 4 = \log_3 \frac{135 \cdot 4}{20} = \log_3 27 = 3\)

Ответ: 3

ж) \(\log_2 56 + 2 \log_2 12 - \log_2 63\)

Логика такая: \(\log_2 56 + 2 \log_2 12 - \log_2 63 = \log_2 56 + \log_2 144 - \log_2 63 = \log_2 \frac{56 \cdot 144}{63} = \log_2 128 = 7\)

Ответ: 7

2. Сравнить числа:

а) \(\log_{\frac{1}{2}} \frac{3}{4}\) и \(\log_{\frac{1}{2}} \frac{4}{5}\)

Логика такая: Функция \(\log_{\frac{1}{2}} x\) убывает, т.к. основание меньше 1. Так как \(\frac{3}{4} > \frac{4}{5}\), то \(\log_{\frac{1}{2}} \frac{3}{4} < \log_{\frac{1}{2}} \frac{4}{5}\)

Ответ: \(\log_{\frac{1}{2}} \frac{3}{4} < \log_{\frac{1}{2}} \frac{4}{5}\)

б) \(\log_{0.9} 1\frac{1}{2}\) и \(\log_{0.9} 1\frac{1}{3}\)

Логика такая: Функция \(\log_{0.9} x\) убывает, т.к. основание меньше 1. Так как \(1\frac{1}{2} > 1\frac{1}{3}\), то \(\log_{0.9} 1\frac{1}{2} < \log_{0.9} 1\frac{1}{3}\)

Ответ: \(\log_{0.9} 1\frac{1}{2} < \log_{0.9} 1\frac{1}{3}\)

3. Решить уравнения:

а) \(\log_{\sqrt{3}} x + \log_3 x = 10\)

Логика такая: \(\log_{\sqrt{3}} x = \frac{\log_3 x}{\log_3 \sqrt{3}} = \frac{\log_3 x}{\frac{1}{2}} = 2 \log_3 x\)

Тогда уравнение принимает вид: \(2 \log_3 x + \log_3 x = 10\), или \(3 \log_3 x = 10\), или \(\log_3 x = \frac{10}{3}\). Отсюда \(x = 3^{\frac{10}{3}} = 3^{3\frac{1}{3}} = 3^3 \cdot 3^{\frac{1}{3}} = 27 \sqrt[3]{3}\)

Ответ: \(x = 27 \sqrt[3]{3}\)

б) \(\lg x = 2\)

Логика такая: \(\lg x = 2\) означает \(\log_{10} x = 2\), то есть \(x = 10^2 = 100\)

Ответ: \(x = 100\)