Контрольна робота «Тригонометричні функції» І Варіант

Контрольна робота «Тригонометричні функції»

I Варіант

1. \( 50^{\circ} \) = \( 50 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{18} \) радіан.
2. \( \cos \frac{5\pi}{7} \). Оскільки \( \frac{5\pi}{7} \) лежить у II чверті (\( \frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{7} < \pi \)), то \( \cos \frac{5\pi}{7} < 0 \).
3. \( \text{tg} \frac{3\pi}{4} = \text{tg} (\pi - \frac{\pi}{4}) = -\text{tg} \frac{\pi}{4} = -1 \).
4. Вираз: \( 7 + \cos (\frac{\pi}{2} + \alpha) \). Найбільше значення косинуса дорівнює 1. \( \cos (\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin \alpha \). Отже, найбільше значення виразу дорівнює \( 7 + 1 = 8 \).
5. Щоб довести, що функція \( y = x^4 - 5 \cos x \) є парною, потрібно перевірити умову \( f(-x) = f(x) \). \( f(-x) = (-x)^4 - 5 \cos(-x) = x^4 - 5 \cos x \). Оскільки \( f(-x) = f(x) \), функція є парною.
6. Спрощення виразу: \( \frac{\text{tg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha) - \cos(\pi - \alpha) \cdot \sin(3\pi + \alpha)}{(\cos(\frac{7\pi}{2} - \alpha) + \sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha))^2 - 1} - (0,5 \text{ctg}^2 (\pi + \alpha) - 4) \)
• \( \text{tg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \text{ctg} \alpha \)
• \( \cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha \)
• \( \sin(3\pi + \alpha) = \sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha \)
• \( \cos(\frac{7\pi}{2} - \alpha) = \cos(3\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha) = -\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = -\sin \alpha \)
• \( \sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cos \alpha \)
• \( \text{ctg}^2 (\pi + \alpha) = \text{ctg}^2 \alpha \)
\( \Rightarrow \frac{\text{ctg} \alpha - (- \cos \alpha) \cdot (- \sin \alpha)}{(-\sin \alpha - \cos \alpha)^2 - 1} - (0,5 \text{ctg}^2 \alpha - 4) \)
7. \( \frac{\text{ctg} \alpha - \cos \alpha \sin \alpha}{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 1} - 0,5 \text{ctg}^2 \alpha + 4 \)
8. \( \frac{\text{ctg} \alpha - \cos \alpha \sin \alpha}{\sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha - 1} - 0,5 \text{ctg}^2 \alpha + 4 \)
9. \( \frac{\text{ctg} \alpha - \cos \alpha \sin \alpha}{1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha - 1} - 0,5 \text{ctg}^2 \alpha + 4 \)
10. \( \frac{\text{ctg} \alpha - \cos \alpha \sin \alpha}{2 \sin \alpha \cos \alpha} - 0,5 \text{ctg}^2 \alpha + 4 \)
11. \( \frac{\text{ctg} \alpha}{2 \sin \alpha \cos \alpha} - \frac{\cos \alpha \sin \alpha}{2 \sin \alpha \cos \alpha} - 0,5 \text{ctg}^2 \alpha + 4 \)
12. \( \frac{\text{ctg} \alpha}{2 \sin \alpha \cos \alpha} - \frac{1}{2} - 0,5 \text{ctg}^2 \alpha + 4 \)
13. \( \frac{\cos \alpha}{2 \sin^2 \alpha \cos \alpha} - \frac{1}{2} - 0,5 \text{ctg}^2 \alpha + 4 \)
14. \( \frac{1}{2 \sin^2 \alpha} - \frac{1}{2} - 0,5 \text{ctg}^2 \alpha + 4 \)
15. \( \frac{1}{2} \csc^2 \alpha - \frac{1}{2} - 0,5 \text{ctg}^2 \alpha + 4 \)
16. \( \frac{1}{2} (1 + \text{ctg}^2 \alpha) - \frac{1}{2} - 0,5 \text{ctg}^2 \alpha + 4 \)
17. \( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \text{ctg}^2 \alpha - \frac{1}{2} - 0,5 \text{ctg}^2 \alpha + 4 \)
18. \( 4 \)

Ответ: 4.