Контрольна робота «Тригонометричні функції» ІІ Варіант

Контрольна робота «Тригонометричні функції»

II Варіант

1. \( \frac{\pi}{30} = \frac{180^{\circ}}{30} = 6^{\circ} \).
2. \( \sin \frac{4\pi}{9} \). Оскільки \( 0 < \frac{4\pi}{9} < \frac{\pi}{2} \), то \( \sin \frac{4\pi}{9} > 0 \).
3. \( \sin \frac{3\pi}{4} = \sin (\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
4. Вираз: \( 4 - \sin(2\pi - \alpha) \). Найбільше значення синуса дорівнює 1. \( \sin(2\pi - \alpha) = -\sin \alpha \). Найбільше значення виразу дорівнює \( 4 - (-1) = 5 \).
5. Щоб довести, що функція \( y = \sin x + x^3 \) є непарною, потрібно перевірити умову \( f(-x) = -f(x) \). \( f(-x) = \sin(-x) + (-x)^3 = -\sin x - x^3 = -( \sin x + x^3) = -f(x) \). Оскільки \( f(-x) = -f(x) \), функція є непарною.
6. Спрощення виразу: \( \frac{1 - (\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) + \cos(7\pi - \alpha))^2}{\text{tg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha) - \sin(3\pi + \alpha) \sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha)} - (2 \text{tg}^2(2\pi + \alpha) - 8) \)
• \( \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin \alpha \)
• \( \cos(7\pi - \alpha) = \cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha \)
• \( \text{tg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \text{ctg} \alpha \)
• \( \sin(3\pi + \alpha) = \sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha \)
• \( \sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cos \alpha \)
• \( \text{tg}^2(2\pi + \alpha) = \text{tg}^2 \alpha \)
\( \Rightarrow \frac{1 - (- \sin \alpha - \cos \alpha)^2}{\text{ctg} \alpha - (- \sin \alpha) \cdot (- \cos \alpha)} - (2 \text{tg}^2 \alpha - 8) \)
7. \( \frac{1 - (\sin \alpha + \cos \alpha)^2}{\text{ctg} \alpha - \sin \alpha \cos \alpha} - 2 \text{tg}^2 \alpha + 8 \)
8. \( \frac{1 - (\sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha)}{\text{ctg} \alpha - \sin \alpha \cos \alpha} - 2 \text{tg}^2 \alpha + 8 \)
9. \( \frac{1 - (1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha)}{\text{ctg} \alpha - \sin \alpha \cos \alpha} - 2 \text{tg}^2 \alpha + 8 \)
10. \( \frac{-2 \sin \alpha \cos \alpha}{\text{ctg} \alpha - \sin \alpha \cos \alpha} - 2 \text{tg}^2 \alpha + 8 \)
11. \( \frac{-2 \sin \alpha \cos \alpha}{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \sin \alpha \cos \alpha} - 2 \text{tg}^2 \alpha + 8 \)
12. \( \frac{-2 \sin \alpha \cos \alpha}{\frac{\cos \alpha - \sin^2 \alpha \cos \alpha}{\sin \alpha}} - 2 \text{tg}^2 \alpha + 8 \)
13. \( \frac{-2 \sin^2 \alpha \cos \alpha}{\cos \alpha (1 - \sin^2 \alpha)} - 2 \text{tg}^2 \alpha + 8 \)
14. \( \frac{-2 \sin^2 \alpha \cos \alpha}{\cos \alpha \cos^2 \alpha} - 2 \text{tg}^2 \alpha + 8 \)
15. \( \frac{-2 \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - 2 \text{tg}^2 \alpha + 8 \)
16. \( -2 \text{tg}^2 \alpha - 2 \text{tg}^2 \alpha + 8 \)
17. \( -4 \text{tg}^2 \alpha + 8 \)

Ответ: -4 tg² α + 8.