Контрольная по геометрии «Прямоугольные треугольники» Вариант 1 1. Высота остроугольного треугольника АВС образует со сторонами, выходящими из той же вершины, углы, равные 24° и 38°. Найдите углы треугольника АВС. 2. Из вершины А прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С проведена биссектриса AD, внешний угол при вершине В равен 140°. Найдите углы треугольника BDA. 3. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника образует с гипотенузой углы, один из которых равен 70°. Найдите острые углы этого треугольника.

Задание 1

Дано: Треугольник ABC - остроугольный. Высота, проведенная из вершины B, образует со сторонами углы 24° и 38°.

Найти: Углы треугольника ABC.

Решение:

1. Высота образует прямой угол со стороной, поэтому угол между высотой и стороной AC равен 90°.
2. Угол A равен 90° - 38° = 52°.
3. Угол C равен 90° - 24° = 66°.
4. Угол B равен 180° - 52° - 66° = 62°.

Ответ: ∠A = 52°, ∠B = 62°, ∠C = 66°

Задание 2

Дано: Треугольник ABC - прямоугольный, ∠C = 90°. AD - биссектриса угла A, внешний угол при вершине B равен 140°.

Найти: Углы треугольника BDA.

Решение:

1. Внешний угол при вершине B равен 140°, следовательно, ∠B = 180° - 140° = 40°.
2. ∠A = 90° - 40° = 50°.
3. AD - биссектриса угла A, следовательно, ∠BAD = ∠CAD = 50° / 2 = 25°.
4. В треугольнике BDA: ∠BDA = 180° - 40° - 25° = 115°.
5. ∠ABD = 40°
6. ∠DAB = 25°

Ответ: ∠BDA = 115°, ∠ABD = 40°, ∠DAB = 25°

Задание 3

Дано: Прямоугольный треугольник, биссектриса прямого угла образует с гипотенузой угол 70°.

Найти: Острые углы треугольника.

Решение:

1. Биссектриса прямого угла делит его пополам, следовательно, угол между биссектрисой и катетом равен 45°.
2. Угол между биссектрисой и гипотенузой равен 70° (дано).
3. Угол между катетом и гипотенузой (острый угол треугольника) равен 70° - 45° = 25°.
4. Второй острый угол равен 90° - 25° = 65°.

Ответ: Острые углы треугольника: 25° и 65°.