Контрольная работа № 8 (π. 37-38) Вариант 1 1 Преобразуйте в многочлен: a) (a - 2)(a + 2) - 2a(5 – a); б) (у - 9)2 - 3y(y + 1); в) 3(x - 4)2 – 3x2. 2 Разложите на множители: a) 25x - x³; б) 2x² - 20ху + 50y2. 3 Упростите выражение (с² – b)² - (c² - 1)(c² + 1) + 2bc² и най- дите его значение при b = -3. 4 Представьте в виде произведения: a) (x - 3)2 - 25x2; б) а² - b2 – 4b – 4a; в) 8 – уб. 5 Докажите тождество (a + b)² – (a – b)² = 4ab.

Ответ:

1. Преобразуйте в многочлен:

a) \((a - 2)(a + 2) - 2a(5 – a)\)

• Шаг 1: Раскрываем скобки, используя формулу разности квадратов \[(a - 2)(a + 2) = a^2 - 4\] и дистрибутивное свойство \[-2a(5 - a) = -10a + 2a^2\]
• Шаг 2: Подставляем полученные выражения в исходное выражение: \[a^2 - 4 - 10a + 2a^2\]
• Шаг 3: Приводим подобные члены: \[a^2 + 2a^2 - 10a - 4 = 3a^2 - 10a - 4\]

Ответ: \(3a^2 - 10a - 4\)

б) \((y - 9)^2 - 3y(y + 1)\)

• Шаг 1: Раскрываем скобки, используя формулу квадрата разности \[(y - 9)^2 = y^2 - 18y + 81\] и дистрибутивное свойство \[-3y(y + 1) = -3y^2 - 3y\]
• Шаг 2: Подставляем полученные выражения в исходное выражение: \[y^2 - 18y + 81 - 3y^2 - 3y\]
• Шаг 3: Приводим подобные члены: \[y^2 - 3y^2 - 18y - 3y + 81 = -2y^2 - 21y + 81\]

Ответ: \(-2y^2 - 21y + 81\)

в) \(3(x - 4)^2 – 3x^2\)

• Шаг 1: Раскрываем скобки, используя формулу квадрата разности \[(x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16\] и дистрибутивное свойство \[3(x^2 - 8x + 16) = 3x^2 - 24x + 48\]
• Шаг 2: Подставляем полученные выражения в исходное выражение: \[3x^2 - 24x + 48 - 3x^2\]
• Шаг 3: Приводим подобные члены: \[3x^2 - 3x^2 - 24x + 48 = -24x + 48\]

Ответ: \(-24x + 48\)

2. Разложите на множители:

a) \(25x - x^3\)

• Шаг 1: Выносим общий множитель x за скобки: \[x(25 - x^2)\]
• Шаг 2: Используем формулу разности квадратов: \[25 - x^2 = (5 - x)(5 + x)\]
• Шаг 3: Подставляем полученное выражение в исходное выражение: \[x(5 - x)(5 + x)\]

Ответ: \(x(5 - x)(5 + x)\)

б) \(2x^2 - 20xy + 50y^2\)

• Шаг 1: Выносим общий множитель 2 за скобки: \[2(x^2 - 10xy + 25y^2)\]
• Шаг 2: Замечаем, что в скобках стоит полный квадрат: \[x^2 - 10xy + 25y^2 = (x - 5y)^2\]
• Шаг 3: Подставляем полученное выражение в исходное выражение: \[2(x - 5y)^2\]

Ответ: \(2(x - 5y)^2\)

3. Упростите выражение \((c^2 – b)^2 - (c^2 - 1)(c^2 + 1) + 2bc^2\) и найдите его значение при \(b = -3\).

• Шаг 1: Раскрываем скобки \[(c^2 – b)^2 = c^4 - 2bc^2 + b^2\] и \[(c^2 - 1)(c^2 + 1) = c^4 - 1\]
• Шаг 2: Подставляем полученные выражения в исходное выражение: \[c^4 - 2bc^2 + b^2 - (c^4 - 1) + 2bc^2\]
• Шаг 3: Раскрываем скобки и приводим подобные члены: \[c^4 - 2bc^2 + b^2 - c^4 + 1 + 2bc^2 = b^2 + 1\]
• Шаг 4: Подставляем \(b = -3\) в упрощенное выражение: \[(-3)^2 + 1 = 9 + 1 = 10\]

Ответ: 10

4. Представьте в виде произведения:

a) \((x - 3)^2 - 25x^2\)

• Шаг 1: Применим формулу разности квадратов: \[(x - 3)^2 - (5x)^2 = (x - 3 - 5x)(x - 3 + 5x)\]
• Шаг 2: Упрощаем выражения в скобках: \[(x - 3 - 5x)(x - 3 + 5x) = (-4x - 3)(6x - 3)\]

Ответ: \((-4x - 3)(6x - 3)\)

б) \(a^2 - b^2 – 4b – 4a\)

• Шаг 1: Перегруппируем члены: \[a^2 - 4a - (b^2 + 4b)\]
• Шаг 2: Дополним до полных квадратов: \[(a^2 - 4a + 4) - (b^2 + 4b + 4) - 4 + 4 = (a - 2)^2 - (b + 2)^2\]
• Шаг 3: Применим формулу разности квадратов: \[(a - 2)^2 - (b + 2)^2 = (a - 2 - b - 2)(a - 2 + b + 2)\]
• Шаг 4: Упрощаем выражения в скобках: \[(a - 2 - b - 2)(a - 2 + b + 2) = (a - b - 4)(a + b)\]

Ответ: \((a - b - 4)(a + b)\)

в) \(8 – y^6\)

• Шаг 1: Представим 8 как \(2^3\) и \(y^6\) как \((y^2)^3\): \[2^3 - (y^2)^3\]
• Шаг 2: Используем формулу разности кубов: \[a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\]
• Шаг 3: Подставляем в формулу: \[(2 - y^2)(4 + 2y^2 + y^4)\]

Ответ: \((2 - y^2)(4 + 2y^2 + y^4)\)

5. Докажите тождество \((a + b)^2 – (a – b)^2 = 4ab\).

• Шаг 1: Раскрываем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности: \[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\] и \[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]
• Шаг 2: Подставляем полученные выражения в исходное выражение: \[(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)\]
• Шаг 3: Раскрываем скобки и приводим подобные члены: \[a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2 = 4ab\]

Так как левая часть равна правой части, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано

Ответ: