Контрольная работа № 2 (1 ч) Вариант 1 1. Найдите угол между лучом ОА и положительной полу- осью Ох, если А (-1; 3). 2. Решите треугольник АВС, если ∠B=30°, ∠C=105°, ВС=3\sqrt{2}.см. 3. Найдите косинус угла М треугольника KLM, если К (1:7). L(-2; 4), M (2; 0). Вариант 11 1. Найдите угол между лучом ОВ и положительной полу- осью Ох, если В (3; 3).

Вариант 1

1. Найдите угол между лучом ОА и положительной полуосью Ох, если А(-1; 3).

Давай вспомним, что угол между лучом OA и положительной полуосью Ox можно найти, используя координаты точки A.

Если точка A имеет координаты (x, y), то угол \(\theta\) можно найти через тангенс:

\[\tan(\theta) = \frac{y}{x}\]

В нашем случае A(-1, 3), поэтому:

\[\tan(\theta) = \frac{3}{-1} = -3\]

Теперь найдем угол \(\theta\), арктангенс - это обратная функция тангенса:

\[\theta = \arctan(-3)\]

Так как арктангенс -3 отрицательный, нам нужно учесть, что точка A находится во второй четверти (x < 0, y > 0), где угол находится в диапазоне от 90° до 180°.

Используем калькулятор, чтобы найти арктангенс -3 в радианах:

\[\arctan(-3) \approx -1.249 \text{ радиан }\]

Переведем в градусы:

\[-1.249 \cdot \frac{180}{\pi} \approx -71.565°\]

Чтобы получить угол во второй четверти, прибавим 180°:

\[\theta = 180° - 71.565° = 108.435°\]

Итак, угол между лучом OA и положительной полуосью Ox примерно равен 108.435°.

Ответ: 108.435°

Молодец, ты хорошо справился с этой задачей! Теперь давай перейдем ко второй!

2. Решите треугольник ABC, если ∠B = 30°, ∠C = 105°, BC = 3\sqrt{2} см.

Чтобы решить треугольник, нам нужно найти все его углы и стороны. У нас уже есть два угла и одна сторона. Давай начнем с нахождения третьего угла.

В треугольнике сумма всех углов равна 180°:

\[∠A + ∠B + ∠C = 180°\]

Подставим известные значения:

\[∠A + 30° + 105° = 180°\] \[∠A = 180° - 30° - 105°\] \[∠A = 45°\]

Теперь, когда мы знаем все углы, мы можем использовать теорему синусов для нахождения сторон AB и AC.

Теорема синусов гласит:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]

В нашем случае:

\[a = BC = 3\sqrt{2}, \quad A = 45°\] \[b = AC, \quad B = 30°\] \[c = AB, \quad C = 105°\]

Найдем сторону AC:

\[\frac{3\sqrt{2}}{\sin 45°} = \frac{AC}{\sin 30°}\] \[\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 30° = \frac{1}{2}\] \[\frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{\frac{1}{2}}\] \[6 = 2AC\] \[AC = 3 \text{ см}\]

Теперь найдем сторону AB:

\[\frac{3\sqrt{2}}{\sin 45°} = \frac{AB}{\sin 105°}\]

Мы знаем, что sin 105° = sin (60° + 45°). Используем формулу синуса суммы углов:

\[\sin (60° + 45°) = \sin 60° \cos 45° + \cos 60° \sin 45°\] \[= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\] \[= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\]

Подставим это значение в уравнение:

\[\frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AB}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}\] \[6 = \frac{4AB}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}\] \[AB = \frac{6(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4}\] \[AB = \frac{3(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} \text{ см}\]

Итак, мы нашли все углы и стороны треугольника:

∠A = 45°, ∠B = 30°, ∠C = 105°

BC = 3\sqrt{2} см, AC = 3 см, AB = \frac{3(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} см

Ответ: ∠A = 45°, AC = 3 см, AB = \frac{3(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} см

Отлично, ты успешно решил этот треугольник! Перейдем к последней задаче этого варианта.

3. Найдите косинус угла M треугольника KLM, если K(1; 7), L(-2; 4), M(2; 0).

Чтобы найти косинус угла M треугольника KLM, нам понадобятся координаты всех трех точек. Мы можем использовать формулу косинуса через скалярное произведение векторов.

Сначала найдем векторы \(\vec{MK}\) и \(\vec{ML}\):

\[\vec{MK} = K - M = (1 - 2, 7 - 0) = (-1, 7)\] \[\vec{ML} = L - M = (-2 - 2, 4 - 0) = (-4, 4)\]

Теперь найдем скалярное произведение этих векторов:

\[\vec{MK} \cdot \vec{ML} = (-1)(-4) + (7)(4) = 4 + 28 = 32\]

Далее найдем длины векторов \(\vec{MK}\) и \(\vec{ML}\):

\[|\vec{MK}| = \sqrt{(-1)^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\] \[|\vec{ML}| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\]

Теперь мы можем найти косинус угла M:

\[\cos M = \frac{\vec{MK} \cdot \vec{ML}}{|\vec{MK}| \cdot |\vec{ML}|} = \frac{32}{5\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{32}{5 \cdot 4 \cdot 2} = \frac{32}{40} = \frac{4}{5} = 0.8\]

Итак, косинус угла M равен 0.8.

Ответ: 0.8

Прекрасно! Ты отлично справился со всеми заданиями этого варианта! Давай перейдем к следующему!

Вариант 11

1. Найдите угол между лучом OB и положительной полуосью Ox, если B(3; 3).

Чтобы найти угол между лучом OB и положительной полуосью Ox, мы используем координаты точки B.

Если точка B имеет координаты (x, y), то угол \(\theta\) можно найти через тангенс:

\[\tan(\theta) = \frac{y}{x}\]

В нашем случае B(3, 3), поэтому:

\[\tan(\theta) = \frac{3}{3} = 1\]

Теперь найдем угол \(\theta\), арктангенс - это обратная функция тангенса:

\[\theta = \arctan(1)\]

Мы знаем, что \(\arctan(1) = 45°\), потому что тангенс 45° равен 1.

Итак, угол между лучом OB и положительной полуосью Ox равен 45°.

Ответ: 45°

Замечательно, ты отлично справился с этой задачей! Видишь, как все просто, когда ты знаешь основные принципы? Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!