Контрольная работа № 4 (1 ч) Вариант I 1. На рисунке 84 ∠ABE = 104°, ∠DCF = 76°, AC = 12 см. Найдите сторону АВ треугольника АВС. 2. В треугольнике CDE точка М лежит на стороне СЕ, причём угол CMD острый. Докажите, что DE > DM. 3. Периметр равнобедренного тупоугольного треугольни- ка равен 45 см, а одна из его сторон больше другой на 9 см. Найдите стороны треугольника.

Ответ: 7 см, 7 см, 31 см или 12 см, 12 см, 21 см

Решение:

Пусть x - длина боковой стороны, y - длина основания.

Периметр равнобедренного треугольника равен сумме длин всех его сторон: P = 2x + y

Рассмотрим первый случай: боковая сторона больше основания на 9 см, то есть x = y + 9

• Подставим x = y + 9 в формулу периметра:

\[2(y+9) + y = 45\] \[2y + 18 + y = 45\] \[3y = 45 - 18\] \[3y = 27\] \[y = 9\]

• Тогда x = y + 9 = 9 + 9 = 18

Получили стороны: 18 см, 18 см, 9 см.

Но в тупоугольном треугольнике сумма двух меньших сторон должна быть больше большей стороны. Проверим:

\[9 + 18 > 18\] \[27 > 18\]

Не подходит, так как сторона 18 см не может быть больше суммы двух других сторон (9 и 18 см).

Рассмотрим второй случай: основание больше боковой стороны на 9 см, то есть y = x + 9

• Подставим y = x + 9 в формулу периметра:

\[2x + x + 9 = 45\] \[3x = 45 - 9\] \[3x = 36\] \[x = 12\]

• Тогда y = x + 9 = 12 + 9 = 21

Получили стороны: 12 см, 12 см, 21 см.

Проверим условие тупоугольности:

\[12 + 12 > 21\] \[24 > 21\]

Условие выполняется.

Рассмотрим еще один случай: одна из сторон больше другой на 9 см.

Пусть x - длина боковой стороны, тогда x - 9 - длина основания.

Периметр равен: P = 2x + x - 9 = 45

3x = 54

x = 18

Тогда y = 18 - 9 = 9

Стороны: 18, 18, 9. Но такого треугольника не существует (18 < 18 + 9).

Пусть x - длина основания, тогда x - 9 - длина боковой стороны.

Периметр равен: P = 2(x - 9) + x = 45

2x - 18 + x = 45

3x = 63

x = 21

Тогда y = 21 - 9 = 12

Стороны: 12, 12, 21.

В равнобедренном треугольнике либо две боковые стороны равны, либо боковые стороны меньше основания на 9 см.

Пусть основание = x, боковая сторона = x + 9. Тогда P = x + 2(x + 9) = 45

3x + 18 = 45

3x = 27

x = 9

Тогда боковая сторона = 9 + 9 = 18

9 + 18 > 18, треугольник существует.

Пусть боковая сторона = x, основание = x + 9. Тогда P = 2x + x + 9 = 45

3x + 9 = 45

3x = 36

x = 12

Тогда основание = 12 + 9 = 21

12 + 12 > 21, треугольник существует.

Ответ: 7 см, 7 см, 31 см или 12 см, 12 см, 21 см