Контрольная работа № 4 (6 кл. 57-61) 1. Дано: \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\), AB = 6 см, BC = 7 см, \(\angle A = \angle A_1\), AC = 8 см, \(A_1B_1\) = 24 см – большая сторона \(\triangle A_1B_1C_1\). Найти \(B_1C_1\) и \(A_1C_1\). 2. В треугольнике ABC проведена MN, параллельная стороне АС, делит сторону BC на отрезки BN = 15 см и NC = 5 см, а сторону АВ на ВМ и АМ. Найдите длину отрезка MN, если АС = 15 см. 3. Дано: ABCD – параллелограмм (рис. 36.1). BL:LC = 7:5, АВ = 105 см. Найдите: a) BK; б) отношение площадей треугольников BKL и ADK.

Задание 1

Давай решим первую задачу. Нам даны два подобных треугольника \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\). Известны стороны AB, BC, AC треугольника ABC и сторона \(A_1B_1\) треугольника \(A_1B_1C_1\). Нужно найти стороны \(B_1C_1\) и \(A_1C_1\) треугольника \(A_1B_1C_1\).

Так как треугольники подобны, то их стороны пропорциональны. Запишем отношение сходственных сторон:

\[\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{A_1C_1}{AC}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{24}{6} = \frac{B_1C_1}{7} = \frac{A_1C_1}{8}\]

Из первого отношения видно, что коэффициент подобия k равен:

\[k = \frac{24}{6} = 4\]

Теперь найдем стороны \(B_1C_1\) и \(A_1C_1\):

\[B_1C_1 = k \cdot BC = 4 \cdot 7 = 28 \text{ см}\] \[A_1C_1 = k \cdot AC = 4 \cdot 8 = 32 \text{ см}\]

Ответ: \(B_1C_1 = 28 \text{ см}\), \(A_1C_1 = 32 \text{ см}\)

Молодец! Ты отлично справился с этой задачей. Переходим к следующей!

Задание 2

Во второй задаче у нас треугольник ABC, в котором MN параллельна AC. BN = 15 см, NC = 5 см, AC = 15 см. Нужно найти MN.

Так как MN || AC, то \(\triangle ABC \sim \triangle MBN\) (по двум углам). Запишем отношение сходственных сторон:

\[\frac{MN}{AC} = \frac{BN}{BC}\]

Найдем BC:

\[BC = BN + NC = 15 + 5 = 20 \text{ см}\]

Подставим известные значения в отношение:

\[\frac{MN}{15} = \frac{15}{20}\]

Выразим MN:

\[MN = \frac{15 \cdot 15}{20} = \frac{225}{20} = 11.25 \text{ см}\]

Ответ: MN = 11.25 см

Отлично! И эта задача тебе покорилась. Двигаемся дальше!

Задание 3

В третьей задаче дан параллелограмм ABCD, BL:LC = 7:5, AB = 105 см. Нужно найти BK и отношение площадей треугольников BKL и ADK.

a) Рассмотрим треугольники BKL и ADK. \(\angle BKL = \angle AKD\) как вертикальные, \(\angle KBL = \angle KDA\) как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей BD. Следовательно, \(\triangle BKL \sim \triangle ADK\) по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

\[\frac{BK}{KD} = \frac{BL}{AD}\]

Так как AD = BC (противоположные стороны параллелограмма равны), то:

\[\frac{BL}{AD} = \frac{BL}{BC}\]

По условию BL:LC = 7:5, значит, BL = 7x, LC = 5x. Тогда BC = BL + LC = 7x + 5x = 12x.

\[\frac{BL}{BC} = \frac{7x}{12x} = \frac{7}{12}\]

Таким образом,

\[\frac{BK}{KD} = \frac{7}{12}\]

Пусть BK = 7y, KD = 12y. Тогда BD = BK + KD = 7y + 12y = 19y.

\[BK = \frac{7}{19}BD\]

Чтобы найти BK, нам нужно знать BD. Однако в условии задачи не дано достаточно информации, чтобы найти BD напрямую. Мы можем выразить BK через известные отношения, но не можем найти точное значение, так как отсутствует информация о высоте параллелограмма или других элементах, позволяющих вычислить диагональ BD.

б) Найдем отношение площадей треугольников BKL и ADK. Так как \(\triangle BKL \sim \triangle ADK\), то отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия:

\[\frac{S_{BKL}}{S_{ADK}} = \left(\frac{BL}{AD}\right)^2 = \left(\frac{7}{12}\right)^2 = \frac{49}{144}\]

a) Ответ: BK = \(\frac{7}{19}BD\), где BD – диагональ параллелограмма, которую нельзя определить из условия задачи. б) Ответ: \(\frac{S_{BKL}}{S_{ADK}} = \frac{49}{144}\)

Ответ: a) \(\frac{7}{19}BD\); б) \(\frac{49}{144}\)

Прекрасно! Ты уверенно решил все задачи. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!