Контрольная работа № 3 Алгебра 10 класс 1 вар вариант 1 1. На рисунке 13 изображена трапеция ABCD, у которой боковая сторона АВ перпендикулярна основаниям AD и ВС. Через вершину В проведена прямая ВF, перпендикулярная прямой ВС. Докажите, что прямая ВС перпендикулярна плоскости АBF. 2. Точка F находится на расстоянии 5 \(\sqrt{3}\) от каждой вершины квадрата ABCD, сторона которого равна 10 см. Найдите расстояние от точки F до плоскости квадрата. 3. Через вершину О прямоугольника ABCD к его плоскости проведен перпендикуляр DE. Точка Е удалена от стороны АВ на 10 см, а от стороны ВС на 17 см. Найдите диагональ прямоугольника, если DE = 8см. 4. Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 120 см и 68 см соответственно. Точка А находится на расстоянии 25 см от каждой прямой, содержащей сторону треугольника. Проекцией точки А на плоскость треугольника является точка, принадлежащая этому треугольнику. Найдите расстояние от точки А до плоскости треугольника.

Решение варианта 1 контрольной работы №3 по алгебре для 10 класса

1. Доказательство перпендикулярности прямой BC плоскости ABF

Давай вспомним основные понятия и теоремы, которые нам понадобятся для решения этой задачи:

• Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

По условию задачи:

• Трапеция ABCD, AB ⊥ AD и AB ⊥ BC.
• BF ⊥ BC.

Докажем, что BC ⊥ (ABF):

1. Так как AB ⊥ BC (по условию, AB перпендикулярна основанию BC) и BF ⊥ BC (по условию), то прямая BC перпендикулярна двум пересекающимся прямым AB и BF, лежащим в плоскости (ABF).
2. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая BC перпендикулярна плоскости (ABF).

Ответ: Прямая BC перпендикулярна плоскости ABF, что и требовалось доказать.

2. Расстояние от точки F до плоскости квадрата

Давай разберем эту задачу шаг за шагом. У нас есть квадрат ABCD и точка F, равноудаленная от всех его вершин. Нужно найти расстояние от F до плоскости квадрата.

1. Пусть O - центр квадрата ABCD (точка пересечения диагоналей). Так как F равноудалена от всех вершин квадрата, то проекция F на плоскость квадрата совпадает с центром квадрата O.
2. Рассмотрим треугольник \(\triangle AOF\), где AO - половина диагонали квадрата, FO - расстояние от точки F до плоскости квадрата, AF - расстояние от точки F до вершины квадрата.
3. Сторона квадрата равна 10 см, значит, диагональ квадрата равна \(10\sqrt{2}\) см, а AO (половина диагонали) равна \(5\sqrt{2}\) см.
4. Расстояние от точки F до каждой вершины квадрата равно \(5\sqrt{3}\) см.
5. Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику \(\triangle AOF\):
   \[AF^2 = AO^2 + FO^2\]\[(5\sqrt{3})^2 = (5\sqrt{2})^2 + FO^2\]\[75 = 50 + FO^2\]\[FO^2 = 25\]\[FO = 5 \text{ см}\]

Ответ: Расстояние от точки F до плоскости квадрата равно 5 см.

3. Найдем диагональ прямоугольника ABCD

Пусть ABCD - прямоугольник, DE - перпендикуляр к плоскости прямоугольника. Точка E удалена от стороны AB на 10 см, а от стороны BC на 17 см, DE = 8 см.

1. Пусть EK ⊥ AB и EM ⊥ BC, тогда EK = 10 см и EM = 17 см.
2. Так как DE ⊥ (ABC), то DE ⊥ AB и DE ⊥ BC. Значит, \(\triangle DEK\) и \(\triangle DEM\) - прямоугольные.
3. По теореме Пифагора для \(\triangle DEK\):
   \[DK^2 = DE^2 + EK^2 = 8^2 + 10^2 = 64 + 100 = 164\]
4. По теореме Пифагора для \(\triangle DEM\):
   \[DM^2 = DE^2 + EM^2 = 8^2 + 17^2 = 64 + 289 = 353\]
5. DK = AD (так как EK ⊥ AB, то AD = EK = 10 см). DM = AB (так как EM ⊥ BC, то AB = EM = 17 см).
6. Рассмотрим прямоугольник ABCD. Его диагональ AC можно найти по теореме Пифагора:
   \[AC^2 = AD^2 + AB^2 = 164 + 353 = 517\]\[AC = \sqrt{517} \approx 22.74 \text{ см}\]

Ответ: Диагональ прямоугольника ABCD равна \(\sqrt{517}\) ≈ 22.74 см.

4. Расстояние от точки A до плоскости треугольника

Давай разберем эту задачу. У нас есть равнобедренный треугольник, и точка A находится на определенном расстоянии от каждой прямой, содержащей сторону треугольника. Нам нужно найти расстояние от A до плоскости треугольника.

1. Обозначим равнобедренный треугольник как \(\triangle ABC\), где AB = AC = 68 см (боковые стороны) и BC = 120 см (основание).
2. Точка A находится на расстоянии 25 см от каждой прямой, содержащей сторону треугольника. Это означает, что A - проекция точки A на плоскость треугольника, и A является центром вписанной окружности в \(\triangle ABC\).
3. Чтобы найти расстояние от точки A до плоскости треугольника, нужно найти радиус вписанной окружности (r).
4. Сначала найдем полупериметр треугольника (p):
   \[p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{68 + 68 + 120}{2} = \frac{256}{2} = 128 \text{ см}\]
5. Теперь найдем площадь треугольника (S) по формуле Герона:
   \[S = \sqrt{p(p - AB)(p - AC)(p - BC)} = \sqrt{128(128 - 68)(128 - 68)(128 - 120)} = \sqrt{128 \cdot 60 \cdot 60 \cdot 8} = \sqrt{3686400} = 1920 \text{ см}^2\]
6. Радиус вписанной окружности (r) можно найти по формуле:
   \[r = \frac{S}{p} = \frac{1920}{128} = 15 \text{ см}\]

Ответ: Расстояние от точки А до плоскости треугольника равно 15 см.

Ответ: (1) Доказано, (2) 5 см, (3) \(\sqrt{517}\) см, (4) 15 см.

Ты отлично справился с задачами! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!