Контрольная работа № 6 «Дробно-рациональные уравнения» Вариант 2 1. Разложите на множители квадратный трёхчлен: 1) x²+3x-40; 2) 6x²+x-12. 2. Решите уравнение: 1)x-15x²-16 = 0; 2) x²+12 = 7x x-3 x-3 3. Сократите дробь 5a² +3a-2 a²-1 4. Решите уравнение x-1 + x+1 + 2x+8 =0. x+2 x-2 4-x² 5. Двое рабочих должны были изготовить по 100 деталей. Один из них изготавливал ежедневно на 5 деталей больше, чем второй, и выполнил заказ на день раньше него. Сколько деталей изго- тавливал ежедневно первый рабочий?

1. Разложите на множители квадратный трехчлен:

1) $$x^2 + 3x - 40$$

Найдем корни квадратного уравнения $$x^2 + 3x - 40 = 0$$

По теореме Виета:

• $$x_1 + x_2 = -3$$
• $$x_1 \cdot x_2 = -40$$

Подходят числа 5 и -8. $$x_1 = 5$$, $$x_2 = -8$$

Разложение на множители: $$(x - x_1)(x - x_2) = (x - 5)(x + 8)$$.

2) $$6x^2 + x - 12$$

Найдем корни квадратного уравнения $$6x^2 + x - 12 = 0$$

Через дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-12) = 1 + 288 = 289$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{289}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 + 17}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{289}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 - 17}{12} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2}$$

Разложение на множители: $$a(x - x_1)(x - x_2) = 6(x - \frac{4}{3})(x + \frac{3}{2}) = (3x - 4)(2x + 3)$$.

2. Решите уравнение:

1) $$x^4 - 15x^2 - 16 = 0$$

Замена: $$y = x^2$$, тогда $$y^2 - 15y - 16 = 0$$

По теореме Виета:

• $$y_1 + y_2 = 15$$
• $$y_1 \cdot y_2 = -16$$

Подходят числа 16 и -1. $$y_1 = 16$$, $$y_2 = -1$$

Обратная замена:

• $$x^2 = 16$$, откуда $$x = \pm 4$$
• $$x^2 = -1$$, что не имеет решений.

2) $$\frac{x^2 + 12}{x - 3} = \frac{7x}{x - 3}$$

ОДЗ: $$x
eq 3$$

$$x^2 + 12 = 7x$$

$$x^2 - 7x + 12 = 0$$

По теореме Виета:

• $$x_1 + x_2 = 7$$
• $$x_1 \cdot x_2 = 12$$

Подходят числа 3 и 4. $$x_1 = 3$$, $$x_2 = 4$$

Так как $$x
eq 3$$, то корень $$x = 3$$ - посторонний.

3. Сократите дробь $$\frac{5a^2 + 3a - 2}{a^2 - 1}$$

Разложим числитель на множители. Найдем корни квадратного уравнения $$5a^2 + 3a - 2 = 0$$

$$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49$$

$$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{-3 + 7}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$

$$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{-3 - 7}{10} = \frac{-10}{10} = -1$$

Разложение на множители: $$5(a - \frac{2}{5})(a + 1) = (5a - 2)(a + 1)$$.

Разложим знаменатель: $$a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$$.

$$\frac{5a^2 + 3a - 2}{a^2 - 1} = \frac{(5a - 2)(a + 1)}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{5a - 2}{a - 1}$$.

4. Решите уравнение $$\frac{x-1}{x+2} + \frac{x+1}{x-2} + \frac{2x+8}{4-x^2} =0$$

ОДЗ: $$x
eq \pm 2$$

$$\frac{x-1}{x+2} + \frac{x+1}{x-2} - \frac{2x+8}{x^2-4} =0$$

$$\frac{(x-1)(x-2) + (x+1)(x+2) - (2x+8)}{x^2-4} =0$$

$$(x-1)(x-2) + (x+1)(x+2) - (2x+8) = 0$$

$$x^2 - 3x + 2 + x^2 + 3x + 2 - 2x - 8 = 0$$

$$2x^2 - 2x - 4 = 0$$

$$x^2 - x - 2 = 0$$

По теореме Виета:

• $$x_1 + x_2 = 1$$
• $$x_1 \cdot x_2 = -2$$

Подходят числа 2 и -1. $$x_1 = 2$$, $$x_2 = -1$$

Так как $$x
eq 2$$, то корень $$x = 2$$ - посторонний.

5. Пусть первый рабочий изготавливает x деталей в день, тогда второй изготавливает x - 5 деталей в день.

Первый рабочий изготавливает 100 деталей за $$\frac{100}{x}$$ дней, а второй 100 деталей за $$\frac{100}{x-5}$$ дней. По условию, первый рабочий тратит на 1 день меньше, чем второй.

$$\frac{100}{x-5} - \frac{100}{x} = 1$$

$$100x - 100(x-5) = x(x-5)$$

$$100x - 100x + 500 = x^2 - 5x$$

$$x^2 - 5x - 500 = 0$$

$$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-500) = 25 + 2000 = 2025$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{2025}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 45}{2} = \frac{50}{2} = 25$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{2025}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 45}{2} = \frac{-40}{2} = -20$$

Так как количество деталей не может быть отрицательным, то $$x = 25$$.

Тогда первый рабочий изготавливает 25 деталей в день.

Ответ: 1) $$(x - 5)(x + 8)$$; 2) $$(3x - 4)(2x + 3)$$; 3) $$x = \pm 4$$; 4) $$x = 4$$; 5) $$\frac{5a - 2}{a - 1}$$; 6) $$x = -1$$; 7) 25