Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Контрольная работа № 3. Функции и их свойства Вариант 1 1. Дана функция у = -4х + 1. При каких значениях аргумента f(x)=0, f(x) < 0, f(x)>0? Является ли эта функция возрастающей или убывающей? Ответ объясните. 2. Найдите область определения функции: 1) y = √5x-2; 2) y = 2x²-5x-3 1 3. Постройте график функции у = х²+4х-5. С помощью графика найдите: а) область определения и область значения; 6) нули функции; в) промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания; д) наименьшее и наибольшее значения функции, если они имеются. 4. Каждый график соотнесите с соответствующей формулой Графики Формулы 1) y = |x|; 2) y = x³; 3) y = -1/x; 4) y = √x; 5) y = x²; 6) y = 1/x. Ответ: АБВ 5. (Дополнительное задание). При каком значении р прямая у = -2х + р имеет с параболой у = х² + 2х ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки.
Ответ:
1. Дана функция $$y = -4x + 1$$.
Решим уравнение $$f(x) = 0$$:
$$-4x + 1 = 0$$
$$4x = 1$$
$$x = \frac{1}{4}$$
То есть, $$f(x) = 0$$ при $$x = \frac{1}{4}$$.
Решим неравенство $$f(x) < 0$$:
$$-4x + 1 < 0$$
$$-4x < -1$$
$$x > \frac{1}{4}$$
То есть, $$f(x) < 0$$ при $$x \in (\frac{1}{4}; +\infty)$$.
Решим неравенство $$f(x) > 0$$:
$$-4x + 1 > 0$$
$$-4x > -1$$
$$x < \frac{1}{4}$$
То есть, $$f(x) > 0$$ при $$x \in (-\infty; \frac{1}{4})$$.
Функция является убывающей, так как коэффициент при х отрицательный (-4 < 0).
2. Найдите область определения функции:
1) $$y = \sqrt{5x - 2}$$
Область определения:
$$5x - 2 \geq 0$$
$$5x \geq 2$$
$$x \geq \frac{2}{5}$$
$$D(y) = [\frac{2}{5}; +\infty)$$
2) $$y = \frac{1}{2x^2 - 5x - 3}$$
Область определения:
$$2x^2 - 5x - 3
eq 0$$
eq 0$$
Решим квадратное уравнение:
$$2x^2 - 5x - 3 = 0$$
$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$$
$$x_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$$
$$x_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$
Следовательно, $$D(y) = (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (-\frac{1}{2}; 3) \cup (3; +\infty)$$.
3. Постройте график функции $$y = x^2 + 4x - 5$$. С помощью графика найдите:
Графиком функции является парабола.
Найдем вершину параболы:
$$x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2 \cdot 1} = -2$$
$$y_v = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$$
Вершина параболы: $$(-2; -9)$$.
a) область определения и область значения;
Область определения: $$D(y) = (-\infty; +\infty)$$.
Область значения: $$E(y) = [-9; +\infty)$$.
б) нули функции;
Найдем нули функции:
$$x^2 + 4x - 5 = 0$$
$$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$
$$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$$
$$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$
Нули функции: $$x_1 = 1, x_2 = -5$$.
в) промежутки знакопостоянства;
$$y > 0$$ при $$x \in (-\infty; -5) \cup (1; +\infty)$$.
$$y < 0$$ при $$x \in (-5; 1)$$.
г) промежутки возрастания и убывания;
Функция убывает при $$x \in (-\infty; -2)$$.
Функция возрастает при $$x \in (-2; +\infty)$$.
д) наименьшее и наибольшее значения функции, если они имеются.
Наименьшее значение функции: $$y = -9$$ при $$x = -2$$.
Наибольшего значения не существует.
4. Каждый график соотнесите с соответствующей формулой:
A) - 6
Б) - 5
В) - 2
5. (Дополнительное задание). При каком значении р прямая $$y = -2x + p$$ имеет с параболой $$y = x^2 + 2x$$ ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки.
$$x^2 + 2x = -2x + p$$
$$x^2 + 4x - p = 0$$
Уравнение имеет одно решение, если дискриминант равен 0.
$$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-p) = 16 + 4p$$
$$16 + 4p = 0$$
$$4p = -16$$
$$p = -4$$
При $$p = -4$$ прямая имеет с параболой ровно одну общую точку.
$$x^2 + 4x + 4 = 0$$
$$(x + 2)^2 = 0$$
$$x = -2$$
$$y = (-2)^2 + 2 \cdot (-2) = 4 - 4 = 0$$
Координаты точки: $$(-2; 0)$$.
