Контрольная работа № 4 7 класс (базовый уровень) Степень с натуральным показателем Вариант 1 1. Упростите: a) a³.a¹⁰: a⁷; б) (x⁴)⁶ : x¹²; в) a¹³b/ (ab)² 2. Представьте в виде одночлена стандартного вида и пайдите его степень: а) -3x³ (-2,5)у ⁴y²x; б) (0,125a⁷) (-8a)(b³)². 3. Упростите: a) (-5xy³)² (2xy⁵z)²; б) 10000 (- (0,1a⁴b⁵)³)²; в) ((-1/3 a²y)² (-3ab)³)³ 4. Вычислите, используя свойства степени: (7⁵)³ a) 7¹³.49; б) 50³ / (22)³.5⁶ в) 3⁴⁸-3⁴⁷+17-3⁴⁶ / 23-27¹⁵ 5. Решите уравнение x²¹\cdot x⁹ \cdot (x³)² / x²⁷ \cdot x⁴ = 11. 6. Сколькими нулями заканчивается десятичная запись числа 2¹⁴\cdot3⁸\cdot5¹¹\cdot7⁹?

Вариант 1

1. Упростите:
   1. a³ \(\cdot\) a¹⁰: a⁷\[\frac{a^3 \cdot a^{10}}{a^7} = \frac{a^{3+10}}{a^7} = \frac{a^{13}}{a^7} = a^{13-7} = a^6\]

      Ответ: a⁶

   2. (x⁴)⁶ : x¹²\[\frac{(x^4)^6}{x^{12}} = \frac{x^{4 \cdot 6}}{x^{12}} = \frac{x^{24}}{x^{12}} = x^{24-12} = x^{12}\]

      Ответ: x¹²

   3. a¹³b/ (ab)²\[\frac{a^{13} \cdot b}{(ab)^2} = \frac{a^{13} \cdot b}{a^2 \cdot b^2} = \frac{a^{13-2}}{b^{2-1}} = \frac{a^{11}}{b}\]

      Ответ: a¹¹/b

2. Представьте в виде одночлена стандартного вида и найдите его степень:
   1. -3x³ \(\cdot\) (-2,5)у ⁴y²x\[-3x^3 \cdot (-2.5)y^4 y^2 x = -3 \cdot (-2.5) \cdot x^3 \cdot x \cdot y^4 \cdot y^2 = 7.5x^4y^6\]Степень одночлена равна сумме степеней переменных: 4 + 6 = 10

      Ответ: 7.5x⁴y⁶, степень = 10

   2. (0,125a⁷) (-8a)(b³)².\[0.125 a^7 \cdot (-8a) (b^3)^2 = 0.125 \cdot (-8) \cdot a^7 \cdot a \cdot b^{3 \cdot 2} = -1 a^8 b^6 = -a^8b^6\]Степень одночлена равна сумме степеней переменных: 8 + 6 = 14

      Ответ: -a⁸b⁶, степень = 14

3. Упростите:
   1. (-5xy³)² (2xy⁵z)²\[(-5xy^3)^2 (2xy^5z)^2 = (-5)^2 x^2 (y^3)^2 \cdot 2^2 x^2 (y^5)^2 z^2 = 25x^2 y^6 \cdot 4 x^2 y^{10} z^2 = 25 \cdot 4 x^2 \cdot x^2 \cdot y^6 \cdot y^{10} \cdot z^2 = 100x^4y^{16}z^2\]

      Ответ: 100x⁴y¹⁶z²

   2. 10000 \(\cdot\) (- (0,1a⁴b⁵)³)²\[10000 \cdot (-(0.1a^4b^5)^3)^2 = 10000 \cdot ((-1)^3 (0.1)^3 (a^4)^3 (b^5)^3)^2 = 10000 \cdot (-0.001a^{12}b^{15})^2 = 10000 \cdot (0.001)^2 \cdot (a^{12})^2 (b^{15})^2 = 10000 \cdot 0.000001 \cdot a^{24} b^{30} = 0.01a^{24}b^{30}\]

      Ответ: 0.01a²⁴b³⁰

   3. ((-1/3 a²y)² (-3ab)³)³\[ \left( \left(-\frac{1}{3} a^2 y \right)^2 (-3ab)^3 \right)^3 = \left( \frac{1}{9} a^4 y^2 (-27 a^3 b^3) \right)^3 = \left( -3 a^7 y^2 b^3 \right)^3 = -27 a^{21} y^6 b^9 \]

      Ответ: -27a²¹y⁶b⁹

4. Вычислите, используя свойства степени:
   1. (7⁵)³/ 7¹³.49\[\frac{(7^5)^3}{7^{13} \cdot 49} = \frac{7^{5 \cdot 3}}{7^{13} \cdot 7^2} = \frac{7^{15}}{7^{13+2}} = \frac{7^{15}}{7^{15}} = 1\]

      Ответ: 1

   2. 50³/ (22)³.5⁶\[\frac{50^3}{(22)^3 \cdot 5^6} = \frac{(2 \cdot 5^2)^3}{2^3 \cdot 11^3 \cdot 5^6} = \frac{2^3 \cdot (5^2)^3}{2^3 \cdot 11^3 \cdot 5^6} = \frac{2^3 \cdot 5^6}{2^3 \cdot 11^3 \cdot 5^6} = \frac{1}{11^3} = \frac{1}{1331}\]

      Ответ: 1/1331

   3. 3⁴⁸-3⁴⁷+17-3⁴⁶ / 23-27¹⁵\[\frac{3^{48}-3^{47}+17-3^{46}}{23-27^{15}} = \frac{3^{46}(3^2 - 3 + 1) + 17}{23-(3^3)^{15}} = \frac{3^{46}(9 - 3 + 1) + 17}{23 - 3^{45}} = \frac{3^{46} \cdot 7 + 17}{23 - 3^{45}}\]

      Ответ: (3⁴⁶ \(\cdot\) 7 + 17) / (23 - 3⁴⁵)

5. Решите уравнение x²¹\(\cdot\) x⁹ \(\cdot\) (x³)² / x²⁷ \(\cdot\) x⁴ = 11.\[\frac{x^{21} \cdot x^9 \cdot (x^3)^2}{x^{27} \cdot x^4} = 11 \rightarrow \frac{x^{21+9} \cdot x^{3 \cdot 2}}{x^{27+4}} = 11 \rightarrow \frac{x^{30} \cdot x^6}{x^{31}} = 11 \rightarrow \frac{x^{36}}{x^{31}} = 11 \rightarrow x^{36-31} = 11 \rightarrow x^5 = 11 \rightarrow x = \sqrt[5]{11}\]

   Ответ: x = ⁵√11

6. Сколькими нулями заканчивается десятичная запись числа 2¹⁴\(\cdot\)3⁸\(\cdot\)5¹¹\(\cdot\)7⁹?

   Количество нулей в десятичной записи числа определяется количеством пар 2 и 5 в разложении числа на простые множители.

   Дано число: 2¹⁴\(\cdot\)3⁸\(\cdot\)5¹¹\(\cdot\)7⁹. Здесь есть 14 множителей 2 и 11 множителей 5.

   Минимальное из этих чисел (11) определяет количество пар 2 и 5, а следовательно, и количество нулей в десятичной записи числа.

   Ответ: 11

Ты молодец! У тебя всё получится!