Контрольная работа № 4 «Логарифмы». Вариант 1 1. Постройте график функции: у = log3 (x+3) - 2 2. Найдите значения выражения : a) log6 81 + log6 16 6) log2 224 - log2 7 r) log√11 112 д) 24+log2 7 3. Решите уравнения: a) log11 (7x12) = log11 23; 6) logo,5 (x² + x) = -1; B) log4 (5x+11)-log45 = log4 3; r) log23 x - 2 log3 x = 3. 4. Вычислите: а) 36 log, 5+log, 81 ; 0) log 2 () .2-0.5 (4) 25 5. Решите систему уравнений: 8logg (x-y) { = 2, 2*-2 =6log4 2. *) log y² +(-3x { log y² -2(3) = 127 log3 y = 127-25%.

Привет! Сейчас разберем эту контрольную работу по логарифмам. Будет много вычислений, но я уверен, что у тебя все получится!

1. Постройте график функции: \( y = \log_3(x+3) - 2 \)

Для построения графика функции \( y = \log_3(x+3) - 2 \) выполним следующие шаги:

1. Определим базовую функцию: \( y = \log_3(x) \)
2. Сдвиг по оси x: Функция \( y = \log_3(x+3) \) получается сдвигом графика \( y = \log_3(x) \) влево на 3 единицы.
3. Сдвиг по оси y: Функция \( y = \log_3(x+3) - 2 \) получается сдвигом графика \( y = \log_3(x+3) \) вниз на 2 единицы.

Чтобы построить график, можно взять несколько ключевых точек для базовой функции и применить сдвиги.

2. Найдите значения выражения:

a) \( \log_6 81 + \log_6 16 \)

Используем свойство логарифмов: \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \)

\( \log_6 81 + \log_6 16 = \log_6 (81 \cdot 16) = \log_6 (3^4 \cdot 2^4) = \log_6 (6^4) = 4 \)

б) \( \log_2 224 - \log_2 7 \)

Используем свойство логарифмов: \( \log_a b - \log_a c = \log_a (\frac{b}{c}) \)

\( \log_2 224 - \log_2 7 = \log_2 (\frac{224}{7}) = \log_2 32 = \log_2 (2^5) = 5 \)

в) \( \log_4(\log_2 16) \)

Сначала найдем \( \log_2 16 \):

\( \log_2 16 = \log_2 (2^4) = 4 \)

Теперь найдем \( \log_4 4 \):

\( \log_4 4 = 1 \)

г) \( \log_{\sqrt{11}} 11^2 \)

\( \log_{\sqrt{11}} 11^2 = \log_{11^{1/2}} 11^2 = \frac{2}{1/2} = 4 \)

д) \( 2^{4 + \log_2 7} \)

Используем свойство степеней: \( a^{b+c} = a^b \cdot a^c \)

\( 2^{4 + \log_2 7} = 2^4 \cdot 2^{\log_2 7} = 16 \cdot 7 = 112 \)

e) \( 3 \log_{\frac{1}{8}} 2 + 10^{\lg 2 + \lg 5} \)

\( \log_{\frac{1}{8}} 2 = \log_{2^{-3}} 2 = -\frac{1}{3} \)

\( 3 \log_{\frac{1}{8}} 2 = 3 \cdot (-\frac{1}{3}) = -1 \)

\( 10^{\lg 2 + \lg 5} = 10^{\lg (2 \cdot 5)} = 10^{\lg 10} = 10^1 = 10 \)

\( -1 + 10 = 9 \)

3. Решите уравнения:

a) \( \log_{11}(7x - 12) = \log_{11} 23 \)

Поскольку логарифмы равны, приравниваем аргументы:

\( 7x - 12 = 23 \)

\( 7x = 35 \)

\( x = 5 \)

б) \( \log_{0.5}(x^2 + x) = -1 \)

\( x^2 + x = (0.5)^{-1} \)

\( x^2 + x = 2 \)

\( x^2 + x - 2 = 0 \)

Решаем квадратное уравнение:

\( (x+2)(x-1) = 0 \)

\( x = -2, x = 1 \)

в) \( \log_4(5x + 11) - \log_4 5 = \log_4 3 \)

\( \log_4(\frac{5x + 11}{5}) = \log_4 3 \)

\( \frac{5x + 11}{5} = 3 \)

\( 5x + 11 = 15 \)

\( 5x = 4 \)

\( x = \frac{4}{5} = 0.8 \)

г) \( \log_2^3 x - 2 \log_3 x = 3 \)

Уравнение не имеет смысла, так как логарифмы с разными основаниями.

Предположим, что уравнение должно быть: \( (\log_3 x)^2 - 2 \log_3 x - 3 = 0 \)

Пусть \( y = \log_3 x \), тогда уравнение: \( y^2 - 2y - 3 = 0 \)

Решаем квадратное уравнение: \( (y-3)(y+1) = 0 \)

\( y = 3, y = -1 \)

Тогда \( \log_3 x = 3 \) или \( \log_3 x = -1 \)

\( x = 3^3 = 27 \) или \( x = 3^{-1} = \frac{1}{3} \)

4. Вычислите:

а) \( 36^{\log_6 5 + \log_9 81} \)

\( \log_9 81 = \log_9 9^2 = 2 \)

\( 36^{\log_6 5 + 2} = 36^{\log_6 5} \cdot 36^2 \)

Пусть \( y = 36^{\log_6 5} \), тогда \( \log_6 y = \log_6 (36^{\log_6 5}) = \log_6 5 \cdot \log_6 36 = \log_6 5 \cdot 2 = 2 \log_6 5 = \log_6 25 \)

\( y = 25 \), значит \( 36^{\log_6 5} = 25 \)

\( 25 \cdot 36^2 = 25 \cdot 1296 = 32400 \)

б) \( \log_2 \frac{(\frac{1}{8})^3 \cdot 2^{-0.5}}{(\frac{1}{4})^3 \cdot 2^5} \)

\( \frac{(\frac{1}{8})^3 \cdot 2^{-0.5}}{(\frac{1}{4})^3 \cdot 2^5} = \frac{(2^{-3})^3 \cdot 2^{-0.5}}{(2^{-2})^3 \cdot 2^5} = \frac{2^{-9} \cdot 2^{-0.5}}{2^{-6} \cdot 2^5} = \frac{2^{-9.5}}{2^{-1}} = 2^{-8.5} \)

\( \log_2 2^{-8.5} = -8.5 \)

5. Решите систему уравнений:

Система уравнений:

\( \begin{cases} 8^{\log_8(x-y)} = 2 \\ 2^x - 2^y = 6 \log_4 2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x - y = 2 \\ 2^x - 2^y = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \end{cases} \)

\( x = y + 2 \)

\( 2^{y+2} - 2^y = 3 \)

\( 4 \cdot 2^y - 2^y = 3 \)

\( 3 \cdot 2^y = 3 \)

\( 2^y = 1 \)

\( y = 0 \)

\( x = y + 2 = 0 + 2 = 2 \)

Второе уравнение:

\( \begin{cases} \log_3^3 y^2 + (\frac{1}{5})^{-3x} = 127 \\ \log_3^2 y^2 - 2(\frac{1}{5})^{-x} \cdot \log_3 y = 127 - 25^x \end{cases} \)

Я не могу решить данную систему, т.к. условия не полные.

Вот и все! Ты отлично справился с этой контрольной. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!