Контрольная работа № 2 «Метод координат» Вариант 2 1. Докажите, что четырехугольник МИКР, заданный координатами своих вершин М(2;2), N(5;3), K(6;6), Р(3;5), является квадратом и вычислите его площадь. 2. Напишите уравнение окружности с центром в точке (5;-1), проходящей через точку В(-5;2). 3. Треугольник FRT задан координатами своих вершин: F(2;-2), R(2;3), T(-2;1). а) Докажите, что треугольник FRT- равнобедренный. б) Найдите высоту, проведенную из вершины F. 4. Найдите координаты точки О – середины EF, если Е(6;11), F(-4;-3).

Выполним задания контрольной работы.

Задание 1

Чтобы доказать, что четырехугольник MNKP является квадратом, нужно показать, что все его стороны равны и диагонали тоже равны. Найдем длины сторон и диагоналей:

• $$MN = \sqrt{(5-2)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$$
• $$NK = \sqrt{(6-5)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$$
• $$KP = \sqrt{(3-6)^2 + (5-6)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$$
• $$PM = \sqrt{(2-3)^2 + (2-5)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$$

Все стороны равны, значит, это ромб. Теперь проверим диагонали:

• $$MK = \sqrt{(6-2)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32}$$
• $$NP = \sqrt{(3-5)^2 + (5-3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8}$$

Диагонали не равны, следовательно, это не квадрат, а ромб.

Площадь ромба можно найти как произведение высоты на сторону или как половину произведения диагоналей. В данном случае проще найти площадь через сторону, возведенную в квадрат, так как углы не прямые.

Площадь квадрата равна $$(\sqrt{10})^2 = 10$$

Ответ: Четырехугольник MNKP - ромб, площадь равна 10.

Задание 2

Уравнение окружности с центром в точке S(5;-1) и проходящей через точку B(-5;2) имеет вид:

$$(x-5)^2 + (y+1)^2 = R^2$$

Найдем радиус, используя координаты точки B:

$$R^2 = (-5-5)^2 + (2+1)^2 = (-10)^2 + 3^2 = 100 + 9 = 109$$

Уравнение окружности:

$$(x-5)^2 + (y+1)^2 = 109$$

Ответ: $$(x-5)^2 + (y+1)^2 = 109$$

Задание 3

Треугольник FRT с координатами вершин F(2;-2), R(2;3), T(-2;1).

а) Докажите, что треугольник FRT- равнобедренный.

Найдем длины сторон треугольника:

• $$FR = \sqrt{(2-2)^2 + (3+2)^2} = \sqrt{0^2 + 5^2} = \sqrt{25} = 5$$
• $$RT = \sqrt{(-2-2)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20}$$
• $$TF = \sqrt{(2+2)^2 + (-2-1)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$$

Так как FR = TF, то треугольник FRT - равнобедренный.

Ответ: Треугольник FRT - равнобедренный.

б) Найдите высоту, проведенную из вершины F.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Найдем координаты середины RT, точки M:

$$M = (\frac{2+(-2)}{2}, \frac{3+1}{2}) = (0, 2)$$

Теперь найдем длину высоты FM:

$$FM = \sqrt{(0-2)^2 + (2+2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$

Ответ: $$FM = 2\sqrt{5}$$

Задание 4

Найдите координаты точки О – середины EF, если Е(6;11), F(-4;-3).

$$O = (\frac{6+(-4)}{2}, \frac{11+(-3)}{2}) = (\frac{2}{2}, \frac{8}{2}) = (1, 4)$$

Ответ: О(1;4)