Контрольная работа № 5. Объем шара 1 вариант 1. Диаметр шара равен высоте конуса, образующая которого составляет с плоскостью основания угол, равный 60°. Найдите отношение объёмов конуса и шара. 2. Объём цилиндра равен 96л см³, площадь его осевого сечения 48см². Найдите площадь сферы, описанной около цилиндра. 3. В конус вписана пирамида. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 2р, а прилежащий угол равен 30°. Боковая грань пирамиды, проходящая через данный катет, составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите объём конуса.

Решение задачи №1:

1. 
   Определим высоту конуса \(h\) через диаметр шара \(d\). Так как диаметр шара равен высоте конуса, то:
   \[ h = d = 2r \]
   где \(r\) – радиус шара.
   


2. 
   Рассмотрим конус. Угол между образующей и плоскостью основания равен 60°. Образующая конуса (l), высота (h) и радиус основания (R) связаны соотношением:
   \[ \tan(60^\circ) = \frac{h}{R} \]
   Так как \(\tan(60^\circ) = \sqrt{3}\), то:
   \[ \sqrt{3} = \frac{h}{R} \Rightarrow R = \frac{h}{\sqrt{3}} \]
   


3. 
   Выразим радиус основания конуса через радиус шара:
   \[ R = \frac{2r}{\sqrt{3}} \]
   


4. 
   Найдем объем конуса \(V_{\text{конуса}}\):
   \[ V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{2r}{\sqrt{3}}\right)^2 (2r) = \frac{1}{3} \pi \frac{4r^2}{3} (2r) = \frac{8\pi r^3}{9} \]
   


5. 
   Найдем объем шара \(V_{\text{шара}}\):
   \[ V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi r^3 \]
   


6. 
   Найдем отношение объемов конуса и шара:
   \[ \frac{V_{\text{конуса}}}{V_{\text{шара}}} = \frac{\frac{8\pi r^3}{9}}{\frac{4}{3} \pi r^3} = \frac{8\pi r^3}{9} \cdot \frac{3}{4\pi r^3} = \frac{2}{3} \]
   

Решение задачи №2:

1. 
   Запишем формулу объема цилиндра \(V\) и площади осевого сечения \(S\):
   \[ V = \pi R^2 h = 96\pi \text{ см}^3 \]
   \[ S = 2Rh = 48 \text{ см}^2 \]
   


2. 
   Выразим высоту цилиндра \(h\) через радиус \(R\) из площади осевого сечения:
   \[ h = \frac{48}{2R} = \frac{24}{R} \]
   


3. 
   Подставим выражение для \(h\) в формулу объема:
   \[ \pi R^2 \cdot \frac{24}{R} = 96\pi \]
   \[ 24\pi R = 96\pi \]
   \[ R = \frac{96\pi}{24\pi} = 4 \text{ см} \]
   


4. 
   Найдем высоту цилиндра:
   \[ h = \frac{24}{R} = \frac{24}{4} = 6 \text{ см} \]
   


5. 
   Найдем радиус сферы \(r\), описанной около цилиндра. Он равен половине диагонали осевого сечения:
   \[ r = \frac{1}{2} \sqrt{(2R)^2 + h^2} = \frac{1}{2} \sqrt{(2 \cdot 4)^2 + 6^2} = \frac{1}{2} \sqrt{64 + 36} = \frac{1}{2} \sqrt{100} = 5 \text{ см} \]
   


6. 
   Найдем площадь сферы \(S_{\text{сферы}}\):
   \[ S_{\text{сферы}} = 4\pi r^2 = 4\pi (5^2) = 100\pi \text{ см}^2 \]
   

Решение задачи №3:

1. Определим высоту пирамиды. Так как боковая грань пирамиды, проходящая через данный катет, составляет с плоскостью основания угол 45°, высота пирамиды равна этому катету:
   \[H = 2p\]


2. Найдем второй катет основания пирамиды, используя угол 30°:
   \[b = 2p \cdot \tan(60^\circ) = 2p\sqrt{3}\]


3. Найдем гипотенузу основания пирамиды:
   \[c = \sqrt{(2p)^2 + (2p\sqrt{3})^2} = \sqrt{4p^2 + 12p^2} = \sqrt{16p^2} = 4p\]


4. Так как конус описан около пирамиды, радиус основания конуса равен половине гипотенузы:
   \[R = \frac{c}{2} = \frac{4p}{2} = 2p\]


5. Найдем объем конуса:
   \[V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi (2p)^2 (2p) = \frac{8}{3} \pi p^3\]

Проверка за 10 секунд: Убедись, что правильно применил формулы объемов и площадей, а также корректно выразил величины через заданные параметры.

Ответ: 1) \(\frac{2}{3}\); 2) \(100\pi \text{ см}^2\); 3) \(\frac{8}{3} \pi p^3\)