Контрольная работа № 2 по темам "СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. ВЕРОЯТНОСТЬ. ГРАФЫ" ІІ ВАРИАНТ 1. Пользуясь таблицей элементарных событий опыта с двумя бросками игральной кости, укажите элементарные события, которые благоприятствуют событию: а) «сумма очков равна 8»; б) «произведение очков равно 6». 2. В магазине в коробке 70 одинаковых авторучек. Из них 20 авторучек крас- ные, 10- зелёные, остальные синие. Продавец наудачу достаёт одну авторучку. Найдите вероятность того, что извлечённая ручка: а) синяя; б) не красная; в) либо зеленая, либо красная. 3. Симметричную монету бросают три раза. Пользуясь обозначениями О и Р, выпишите элементарные события, благоприятствующие событиям: а) «выпадет ровно одна решка»; в) «выпадет два орла». 4. На рисунке изображено дерево некоторого случайного опыта и показаны события А и В. Рёбра проведены пунктиром. Известно, что рёбра, исходящие из одной вершины, равновероятны. Скопируйте рисунок в тетрадь. Расставьте вероятности. Обведите сплошной линией цепочки, благоприятствующие событию B. Найдите вероятность события В. 5. В коробке 12 синих и 8 красных карандашей. По очереди вынимают три карандаша. Найти вероятность того, что два карандаша будут синими.

Решение заданий контрольной работы.

Задание 1

Для решения задачи необходимо знать таблицу элементарных событий при бросании двух игральных костей. Элементарные события - это все возможные пары чисел от 1 до 6, например, (1, 1), (1, 2), ..., (6, 6).

а) Сумма очков равна 8. Элементарные события, благоприятствующие этому событию:

• (2, 6)
• (3, 5)
• (4, 4)
• (5, 3)
• (6, 2)

б) Произведение очков равно 6. Элементарные события, благоприятствующие этому событию:

• (1, 6)
• (2, 3)
• (3, 2)
• (6, 1)

Задание 2

Всего в коробке 70 авторучек. Из них 20 красных, 10 зелёных, следовательно, синих 70 - 20 - 10 = 40.

а) Вероятность извлечения синей ручки:

\( P(синяя) = \frac{40}{70} = \frac{4}{7} \)

б) Вероятность извлечения не красной ручки:

\( P(не\ красная) = \frac{70 - 20}{70} = \frac{50}{70} = \frac{5}{7} \)

в) Вероятность извлечения либо зелёной, либо красной ручки:

\( P(зелёная\ или\ красная) = \frac{10 + 20}{70} = \frac{30}{70} = \frac{3}{7} \)

Задание 3

Обозначим О - орёл, Р - решка. Монету бросают три раза.

а) Событие: выпадет ровно одна решка.

Элементарные события, благоприятствующие этому событию:

• (О, О, Р)
• (О, Р, О)
• (Р, О, О)

б) Событие: выпадет два орла.

Элементарные события, благоприятствующие этому событию:

• (О, О, Р)
• (О, Р, О)
• (Р, О, О)

Задание 4

К сожалению, я не могу скопировать рисунок и расставить вероятности, так как не имею возможности взаимодействовать с графическими элементами. Но вот как можно найти вероятность события B:

1. Определите вероятности для каждой ветви дерева (рёбра). По условию, рёбра, исходящие из одной вершины, равновероятны.
2. Найдите все пути, ведущие к событию B.
3. Для каждого пути перемножьте вероятности всех рёбер на этом пути.
4. Сложите вероятности всех путей, ведущих к событию B.

Сумма вероятностей будет вероятностью события B.

Задание 5

В коробке 12 синих и 8 красных карандашей, всего 20 карандашей. Вынимают три карандаша по очереди. Нужно найти вероятность того, что два карандаша будут синими.

Возможные варианты (С - синий, К - красный):

• ССК
• СКС
• КСC

Рассчитаем вероятность каждого варианта:

• ССК: \( \frac{12}{20} \cdot \frac{11}{19} \cdot \frac{8}{18} = \frac{132 \cdot 8}{20 \cdot 19 \cdot 18} = \frac{1056}{6840} \)
• СКС: \( \frac{12}{20} \cdot \frac{8}{19} \cdot \frac{11}{18} = \frac{1056}{6840} \)
• КСC: \( \frac{8}{20} \cdot \frac{12}{19} \cdot \frac{11}{18} = \frac{1056}{6840} \)

Суммарная вероятность:

\( P(2\ синих) = \frac{1056}{6840} + \frac{1056}{6840} + \frac{1056}{6840} = \frac{3 \cdot 1056}{6840} = \frac{3168}{6840} = \frac{44}{95} \)

Ответ:

1. а) (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2); б) (1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1)

2. а) \( \frac{4}{7} \); б) \( \frac{5}{7} \); в) \( \frac{3}{7} \)

3. а) (О, О, Р), (О, Р, О), (Р, О, О); б) (О, О, Р), (О, Р, О), (Р, О, О)

4. Описано в решении

5. \( \frac{44}{95} \)

Молодец! Ты хорошо поработал над этими задачами. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!