Контрольная работа № 3 по теме «Алгебраические выражения» Вариант 1 1) Преобразуйте выражение в одночлен стандартного вида: a) - 4m³n⁵ ⋅ 5n² ⋅ m⁴; 6) (-3m⁷n²)⁴. 2) Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида: a) (7x² - 4x + 8) - (4x² + x - 5); в) (x + 4)(3x - 2); 6) 5a(a⁴ - 6a² + 3); г) (x + 5)(x² + x - 6). 3) Представьте в виде многочлена выражение: a) (c-6)²; в) (5-а) (5 + a); 6) (2a - 3b)²; г) (7х + 10у)(7x – 10y). 4) Упростите выражение (х – 2)(x + 2) – (x-5)². 5) Разложите на множители: a) 18xy - 6x²; в) 4x – 4y + сх - су; г) b² - 49; 6) 5a⁶-3a⁴; д) с² - 8с + 16; e)4a² + 20ab + 25b². 6) Известно, что 3m⁴n = – 2. Найдите значение выражения: a) - 12m⁴n; 6) 3m⁸n².

1) Преобразуйте выражение в одночлен стандартного вида:

a) $$- 4m³n⁵ \cdot 5n² \cdot m⁴$$

1. Сгруппируем числовые коэффициенты, а также степени с одинаковыми основаниями:
2. $$ -4 \cdot 5 \cdot m³ \cdot m⁴ \cdot n⁵ \cdot n² $$
3. Выполним умножение числовых коэффициентов, а также степеней с одинаковыми основаниями, используя правило $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$:
4. $$ -20 \cdot m^{3+4} \cdot n^{5+2} $$
5. Упростим показатели степеней:
6. $$ -20m⁷n⁷ $$
   

Ответ: $$-20m⁷n⁷$$

б) $$(-3m⁷n²)⁴$$

1. Применим правило возведения произведения в степень $$(ab)^n = a^n b^n$$:
2. $$(-3)⁴ \cdot (m⁷)⁴ \cdot (n²)⁴$$
3. Вычислим $$(-3)⁴ = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 81$$
4. Применим правило возведения степени в степень $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$:
5. $$81 \cdot m^{7 \cdot 4} \cdot n^{2 \cdot 4}$$
6. Упростим показатели степеней:
   
7. $$81m^{28}n^8$$

Ответ: $$81m^{28}n^8$$

2) Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида:

а) $$(7x² - 4x + 8) - (4x² + x - 5)$$

1. Раскроем скобки, изменяя знаки слагаемых во второй скобке на противоположные:
2. $$7x² - 4x + 8 - 4x² - x + 5$$
3. Сгруппируем подобные слагаемые:
4. $$(7x² - 4x²) + (-4x - x) + (8 + 5)$$
5. Приведем подобные слагаемые:
   
6. $$3x² - 5x + 13$$

Ответ: $$3x² - 5x + 13$$

в) $$(x + 4)(3x - 2)$$

1. Раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения:
2. $$x \cdot (3x - 2) + 4 \cdot (3x - 2)$$
3. $$3x² - 2x + 12x - 8$$
4. Приведем подобные слагаемые:
   
5. $$3x² + 10x - 8$$

Ответ: $$3x² + 10x - 8$$

б) $$5a(a⁴ - 6a² + 3)$$

1. Раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения:
2. $$5a \cdot a⁴ - 5a \cdot 6a² + 5a \cdot 3$$
3. Применим правило умножения степеней с одинаковыми основаниями:
4. $$5a^{1+4} - 30a^{1+2} + 15a$$
5. Упростим показатели степеней:
   
6. $$5a⁵ - 30a³ + 15a$$

Ответ: $$5a⁵ - 30a³ + 15a$$

г) $$(x + 5)(x² + x - 6)$$

1. Раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения:
2. $$x \cdot (x² + x - 6) + 5 \cdot (x² + x - 6)$$
3. $$x³ + x² - 6x + 5x² + 5x - 30$$
4. Приведем подобные слагаемые:
   
5. $$x³ + (x² + 5x²) + (-6x + 5x) - 30$$
6. $$x³ + 6x² - x - 30$$

Ответ: $$x³ + 6x² - x - 30$$

3) Представьте в виде многочлена выражение:

а) $$(c-6)²$$

1. Применим формулу квадрата разности $$(a - b)² = a² - 2ab + b²$$, где $$a = c$$ и $$b = 6$$:
2. $$c² - 2 \cdot c \cdot 6 + 6²$$
3. Упростим:
   
4. $$c² - 12c + 36$$

Ответ: $$c² - 12c + 36$$

б) $$(2a - 3b)²$$

1. Применим формулу квадрата разности $$(a - b)² = a² - 2ab + b²$$, где $$a = 2a$$ и $$b = 3b$$:
2. $$(2a)² - 2 \cdot (2a) \cdot (3b) + (3b)²$$
3. Упростим:
   
4. $$4a² - 12ab + 9b²$$

Ответ: $$4a² - 12ab + 9b²$$

в) $$(5-а) (5 + a)$$

1. Применим формулу разности квадратов $$(a - b)(a + b) = a² - b²$$, где $$a = 5$$ и $$b = a$$:
2. $$5² - a²$$
3. Упростим:
   
4. $$25 - a²$$

Ответ: $$25 - a²$$

г) $$(7х + 10у)(7x – 10y)$$

1. Применим формулу разности квадратов $$(a + b)(a - b) = a² - b²$$, где $$a = 7x$$ и $$b = 10y$$:
2. $$(7x)² - (10y)²$$
3. Упростим:
   
4. $$49x² - 100y²$$

Ответ: $$49x² - 100y²$$

4) Упростите выражение (х – 2)(x + 2) – (x-5)²

1. Применим формулу разности квадратов $$(a - b)(a + b) = a² - b²$$, где $$a = x$$ и $$b = 2$$:
2. $$x² - 2² - (x-5)²$$
3. $$x² - 4 - (x-5)²$$
4. Применим формулу квадрата разности $$(a - b)² = a² - 2ab + b²$$, где $$a = x$$ и $$b = 5$$:
5. $$x² - 4 - (x² - 2 \cdot x \cdot 5 + 5²)$$
6. $$x² - 4 - (x² - 10x + 25)$$
7. Раскроем скобки, изменив знаки слагаемых во второй скобке на противоположные:
8. $$x² - 4 - x² + 10x - 25$$
9. Приведем подобные слагаемые:
   
10. $$(x² - x²) + 10x + (-4 - 25)$$
11. $$10x - 29$$

Ответ: $$10x - 29$$

5) Разложите на множители:

а) $$18xy - 6x²$$

1. Вынесем общий множитель $$6x$$ за скобки:
2. $$6x(3y - x)$$

Ответ: $$6x(3y - x)$$

б) $$5a⁶-3a⁴$$

1. Вынесем общий множитель $$a⁴$$ за скобки:
2. $$a⁴(5a² - 3)$$

Ответ: $$a⁴(5a² - 3)$$

в) $$4x – 4y + сх - су$$

1. Сгруппируем члены и вынесем общие множители из каждой группы:
2. $$(4x - 4y) + (cx - cy)$$
3. $$4(x - y) + c(x - y)$$
4. Вынесем общий множитель $$(x - y)$$ за скобки:
   
5. $$(x - y)(4 + c)$$

Ответ: $$(x - y)(4 + c)$$

г) $$b² - 49$$

1. Применим формулу разности квадратов $$a² - b² = (a - b)(a + b)$$, где $$a = b$$ и $$b = 7$$:
2. $$(b - 7)(b + 7)$$

Ответ: $$(b - 7)(b + 7)$$

д) $$с² - 8с + 16$$

1. Применим формулу квадрата разности $$a² - 2ab + b² = (a - b)²$$, где $$a = c$$ и $$b = 4$$:
2. $$(c - 4)²$$

Ответ: $$(c - 4)²$$

e) $$4a² + 20ab + 25b²$$

1. Применим формулу квадрата суммы $$a² + 2ab + b² = (a + b)²$$, где $$a = 2a$$ и $$b = 5b$$:
2. $$(2a + 5b)²$$

Ответ: $$(2a + 5b)²$$

6) Известно, что $$3m⁴n = – 2$$. Найдите значение выражения:

а) $$- 12m⁴n$$

1. Представим выражение в виде $$-4 \cdot (3m⁴n)$$:
2. Так как $$3m⁴n = -2$$, то:
3. $$-4 \cdot (-2)$$
4. Упростим:
   
5. $$8$$

Ответ: 8

б) $$3m⁸n²$$

1. Представим выражение в виде $$3 \cdot (m⁴n)²$$
2. Используем свойство степени произведения $$(ab)^n = a^n \cdot b^n$$ в обратном порядке:
3. Тогда $$3m⁸n² = 3 \cdot (m⁴n)²$$
4. Выражение $$(m⁴n)²$$ можно записать как $$(3m⁴n)²$$, если разделить выражение $$3m⁸n²$$ на 3, таким образом: $$3m⁸n² = 3 \cdot (m⁴n)² = (3m⁴n)² / 3 $$
5. Так как $$3m⁴n = -2$$, то подставим это значение в выражение:
6. $$(-2)² / 3 $$
7. Упростим:
   
8. $$4/3$$ или $$1\frac{1}{3}$$

Ответ: $$\frac{4}{3}$$