Контрольная работа № 1 по теме: «Четырёхугольники». 8 кл 1. Найдите угол правильного пятнадцатиугольника. 2. Один из углов параллелограмма равен 113°. Найдите другие его углы. 3. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О. Найдите углы треугольника АОВ, если между диагоналями, если ∠ BCD = 75°. 4. В прямоугольной трапеции острый угол равен 45°. Меньшая боковая сторона и меньшее основание равны по 10 см. Найдите большее основание. 5. Найдите меньшую боковую сторону прямоугольной трапеции, основания которой равны 10см и 6см, а один из углов равен 450. 6. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит его противоположную сторону в отношении 3:2, считая от вершины острого угла. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 80 см. 7. На диагонали NK прямоугольника MNPK отложены равные отрезки NA и КЕ. Докажите: а) что треугольники ANP и ЕКМ равны; б) что четырехугольник АРЕМ параллелограмм. 8. Высота ромба, проведенная из вершины тупого угла, делит сторону ромба пополам. Определите углы ромба.

1. Угол правильного пятнадцатиугольника находится по формуле: $$ \alpha = \frac{180°(n-2)}{n} $$, где n - количество сторон. Подставляем n = 15: $$ \alpha = \frac{180°(15-2)}{15} = \frac{180° \cdot 13}{15} = 12° \cdot 13 = 156° $$ 2. В параллелограмме противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Если один из углов равен 113°, то противоположный ему угол тоже равен 113°. Два других угла равны: 180° - 113° = 67°. 3. В ромбе все стороны равны, и диагонали являются биссектрисами его углов. Так как ∠BCD = 75°, то ∠BCO = 75°/2 = 37.5°. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, поэтому ∠BOC = 90°. Тогда ∠OBC = 180° - 90° - 37.5° = 52.5°. Углы треугольника AOB: ∠OAB = 52.5°, ∠ABO = 37.5°, ∠AOB = 90°. 4. В прямоугольной трапеции острый угол равен 45°. Меньшая боковая сторона и меньшее основание равны по 10 см. Проведем высоту из вершины тупого угла к большему основанию. Получим прямоугольный треугольник с углом 45°, следовательно, второй острый угол тоже 45°, и этот треугольник равнобедренный. Высота равна 10 см, значит, и отрезок большего основания, отсекаемый высотой, тоже равен 10 см. Тогда большее основание равно 10 см + 10 см = 20 см. 5. В прямоугольной трапеции основания равны 10 см и 6 см, а один из углов равен 45°. Проведем высоту из вершины тупого угла к большему основанию. Получим прямоугольный треугольник с углом 45°. Разность оснований равна 10 см - 6 см = 4 см. Эта разность является катетом в прямоугольном треугольнике, и так как угол равен 45°, то и высота (меньшая боковая сторона) равна 4 см. 6. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит его противоположную сторону в отношении 3:2, считая от вершины острого угла. Пусть стороны параллелограмма равны x и y, а периметр равен 80 см. Тогда 2(x + y) = 80, x + y = 40. Биссектриса делит сторону y в отношении 3:2, значит, образуются отрезки 3k и 2k, где 3k + 2k = y, то есть 5k = y. Так как биссектриса отсекает равнобедренный треугольник, то x = 3k. Подставляем в уравнение x + y = 40, получаем 3k + 5k = 40, 8k = 40, k = 5. Тогда x = 3k = 3 \cdot 5 = 15, y = 5k = 5 \cdot 5 = 25. Стороны параллелограмма равны 15 см и 25 см. 7. Не могу решить данную задачу, так как отсутствует рисунок. 8. Высота ромба, проведенная из вершины тупого угла, делит сторону ромба пополам. Это означает, что высота является катетом прямоугольного треугольника, образованного стороной ромба и половиной стороны ромба. Так как катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°. Следовательно, острый угол ромба равен 30°. Другой угол ромба равен 180° - 30° = 150°. Углы ромба: 30°, 150°, 30°, 150°.