Контрольная работа № 1 по теме «Координаты и векторы в пространстве» - Точка А Вариант 1 середина отрезка МК. Найдите координаты точки А и дль резка МК, если М (5; –2; 1), Κ (3; 4; −3). Точки А и В симметричны относительно точки С. Найдите координаты т если А (-3; 5; -7), C (6; 2; −1). аны векторы (3; −2; −1) и Б(1; 2; 4). Найдите: ординаты вектора m = −3ả + 2b;

Привет! Разберем контрольную по геометрии?

Задание 1: Точка А – середина отрезка МК

Смотри, тут всё просто: если точка А – середина отрезка МК, то её координаты можно найти как среднее арифметическое координат точек М и К. Погнали!

1. Шаг 1: Находим координаты точки А

   Координата x точки А: \( (x_M + x_K) / 2 = (5 + 3) / 2 = 4 \)

   Координата y точки А: \( (y_M + y_K) / 2 = (-2 + 4) / 2 = 1 \)

   Координата z точки А: \( (z_M + z_K) / 2 = (1 + (-3)) / 2 = -1 \)

   Итак, координаты точки А: (4; 1; -1)

2. Шаг 2: Находим длину отрезка МК

   Длина отрезка МК находится по формуле расстояния между двумя точками в пространстве:

   \[ MK = \sqrt{(x_K - x_M)^2 + (y_K - y_M)^2 + (z_K - z_M)^2} \]\[ MK = \sqrt{(3 - 5)^2 + (4 - (-2))^2 + (-3 - 1)^2} \]\[ MK = \sqrt{(-2)^2 + (6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 36 + 16} = \sqrt{56} \]\[ MK = 2\sqrt{14} \]

Ответ: Координаты точки А (4; 1; -1), длина отрезка MK \( 2\sqrt{14} \).

Задание 2: Точки А и В симметричны относительно точки С

Разбираемся: Если точки А и В симметричны относительно точки С, то точка С является серединой отрезка АВ. Значит, мы можем найти координаты точки В, используя координаты точек А и С. Поехали!

1. Шаг 1: Находим координаты точки B

   Координата x точки B: \( x_B = 2x_C - x_A = 2 \cdot 6 - (-3) = 12 + 3 = 15 \)

   Координата y точки B: \( y_B = 2y_C - y_A = 2 \cdot 2 - 5 = 4 - 5 = -1 \)

   Координата z точки B: \( z_B = 2z_C - z_A = 2 \cdot (-1) - (-7) = -2 + 7 = 5 \)

   Итак, координаты точки В: (15; -1; 5)

Ответ: Координаты точки B (15; -1; 5).

Задание 3: Координаты вектора m = −3ả + 2b

Логика такая: Чтобы найти координаты вектора m, нам нужно выполнить операции умножения векторов на скаляры и сложения векторов. Давай сделаем это!

1. Шаг 1: Умножаем вектор ả на -3

   \( -3\vec{a} = -3(3; -2; -1) = (-9; 6; 3) \)

2. Шаг 2: Умножаем вектор b на 2

   \( 2\vec{b} = 2(1; 2; 4) = (2; 4; 8) \)

3. Шаг 3: Складываем векторы -3ả и 2b

   \( \vec{m} = -3\vec{a} + 2\vec{b} = (-9; 6; 3) + (2; 4; 8) = (-7; 10; 11) \)

Ответ: Координаты вектора m (-7; 10; 11).