Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаКонтрольная работа № 1 по теме «Координаты и векторы в пространстве» Вариант 1 1. Точка А- середина отрезка МК. Найдите координаты точки А и длину отрезка МК, если М (5; −2; 1), K (3; 4; -3). 2. Точки А и В симметричны относительно точки С. Найдите координаты точки В, если А (-3; 5; -7), C (6; 2; -1). 3. Даны векторы (3; −2; -1) и 6(1; 2; 4). Найдите: 1) координаты вектора т=-3a+2b; 2) косинус угла между векторами а и Б. 4. Даны векторы (2; -6; 8) и Б(-1; k; -4). При каком значении к векторы аи ь: 1) коллинеарны; 2) перпендикулярны? 5. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку А и перпендикулярной прямой АВ, если А (1; 2; -3), B (4; 8; -6). 6. Дан куб АВCDA,B,C,D₁, ребро которого равно 1 см. На диагонали С₁D его грани отметили точку М так, что DM: MC₁ = 5:3. 1) Выразите вектор АМчерез векторы AB, AD и АА, 2) Найдите модуль вектора АМ.
Ответ:
1. Точка А — середина отрезка МК.
Пошаговое решение:
- Шаг 1: Найдем координаты точки А:
Координаты точки A вычисляются по формуле:
\[A = \left(\frac{x_M + x_K}{2}, \frac{y_M + y_K}{2}, \frac{z_M + z_K}{2}\right)\]Подставляем координаты точек M и K:
\[A = \left(\frac{5 + 3}{2}, \frac{-2 + 4}{2}, \frac{1 + (-3)}{2}\right) = (4, 1, -1)\] - Шаг 2: Найдем длину отрезка MK:
Длина отрезка MK вычисляется по формуле:
\[|MK| = \sqrt{(x_K - x_M)^2 + (y_K - y_M)^2 + (z_K - z_M)^2}\]Подставляем координаты точек M и K:
\[|MK| = \sqrt{(3 - 5)^2 + (4 - (-2))^2 + (-3 - 1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 36 + 16} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}\]
Ответ: A(4, 1, -1), |MK| = 2\sqrt{14}
2. Точки А и В симметричны относительно точки С.
Пошаговое решение:
- Шаг 1: Найдем координаты точки B:
Координаты точки B вычисляются по формуле:
\[B = (2x_C - x_A, 2y_C - y_A, 2z_C - z_A)\]Подставляем координаты точек A и C:
\[B = (2(6) - (-3), 2(2) - 5, 2(-1) - (-7)) = (12 + 3, 4 - 5, -2 + 7) = (15, -1, 5)\]
Ответ: B(15, -1, 5)
3. Даны векторы ā(3; −2; -1) и b(1; 2; 4).
Пошаговое решение:
- Шаг 1: Найдем координаты вектора m = -3ā + 2b:
Сначала умножаем векторы на числа:
-3ā = -3(3, -2, -1) = (-9, 6, 3)
2b = 2(1, 2, 4) = (2, 4, 8)
Теперь складываем полученные векторы:
\[m = (-9 + 2, 6 + 4, 3 + 8) = (-7, 10, 11)\] - Шаг 2: Найдем косинус угла между векторами ā и b:
Скалярное произведение векторов:
\[ā \cdot b = (3)(1) + (-2)(2) + (-1)(4) = 3 - 4 - 4 = -5\]Длина вектора ā:
\[|ā| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}\]Длина вектора b:
\[|b| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 4 + 16} = \sqrt{21}\]Косинус угла между векторами:
\[cos(\theta) = \frac{ā \cdot b}{|ā| \cdot |b|} = \frac{-5}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{21}} = \frac{-5}{\sqrt{294}} = \frac{-5}{7\sqrt{6}}\]
Ответ: m(-7, 10, 11), cos(θ) = \frac{-5}{7\sqrt{6}}
4. Даны векторы ā(2; -6; 8) и b(-1; k; -4).
Пошаговое решение:
- Шаг 1: Условие коллинеарности:
Векторы коллинеарны, если существует такое число \(\lambda\), что \(ā = \lambda b\). Это означает, что:
\[\frac{2}{-1} = \frac{-6}{k} = \frac{8}{-4}\]Из первого и третьего равенства видим, что \(\lambda = -2\). Тогда:
\[\frac{-6}{k} = -2 \Rightarrow k = \frac{-6}{-2} = 3\] - Шаг 2: Условие перпендикулярности:
Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю:
\[ā \cdot b = (2)(-1) + (-6)(k) + (8)(-4) = 0\] \[-2 - 6k - 32 = 0 \Rightarrow -6k = 34 \Rightarrow k = -\frac{34}{6} = -\frac{17}{3}\]
Ответ: k = 3 (коллинеарны), k = -\frac{17}{3} (перпендикулярны)
5. Составьте уравнение плоскости.
Пошаговое решение:
- Шаг 1: Найдем направляющий вектор прямой AB: \[\vec{AB} = (4 - 1, 8 - 2, -6 - (-3)) = (3, 6, -3)\]
- Шаг 2: Запишем уравнение плоскости:
Уравнение плоскости имеет вид:
\[A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0\]где \((A, B, C)\) — координаты нормального вектора, в данном случае это вектор \(\vec{AB}\), а \((x_0, y_0, z_0)\) — координаты точки A.
Подставляем известные значения:
\[3(x - 1) + 6(y - 2) - 3(z + 3) = 0\]Упрощаем уравнение:
\[3x - 3 + 6y - 12 - 3z - 9 = 0\] \[3x + 6y - 3z - 24 = 0\]Можно разделить на 3 для упрощения:
\[x + 2y - z - 8 = 0\]
Ответ: x + 2y - z - 8 = 0
6. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁.
Пошаговое решение:
- Шаг 1: Выразим вектор \(\vec{AM}\) через векторы \(\vec{AB}\), \(\vec{AD}\) и \(\vec{AA_1}\):
Поскольку \(DM : MC_1 = 5:3\), можно сказать, что \(\vec{DM} = \frac{5}{8} \vec{DC_1}\). Вектор \(\vec{DC_1}\) можно разложить на \(\vec{DC} + \vec{CC_1}\), где \(\vec{DC} = \vec{AB}\) и \(\vec{CC_1} = \vec{AA_1}\).
Таким образом, \(\vec{DM} = \frac{5}{8}(\vec{AB} + \vec{AA_1})\).
Теперь выразим \(\vec{AM}\) через \(\vec{AD} + \vec{DM}\):
\[\vec{AM} = \vec{AD} + \vec{DM} = \vec{AD} + \frac{5}{8} \vec{AB} + \frac{5}{8} \vec{AA_1}\] \[\vec{AM} = \frac{5}{8} \vec{AB} + \vec{AD} + \frac{5}{8} \vec{AA_1}\] - Шаг 2: Найдем модуль вектора \(\vec{AM}\):
Так как \(\vec{AB}\), \(\vec{AD}\) и \(\vec{AA_1}\) взаимно перпендикулярны и образуют прямоугольный параллелепипед (в данном случае куб) со стороной 1 см, модуль \(\vec{AM}\) можно найти как диагональ этого параллелепипеда:
\[|AM| = \sqrt{\left(\frac{5}{8}\right)^2 + 1^2 + \left(\frac{5}{8}\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{64} + 1 + \frac{25}{64}} = \sqrt{\frac{25 + 64 + 25}{64}} = \sqrt{\frac{114}{64}} = \frac{\sqrt{114}}{8}\]
Ответ: \(\vec{AM} = \frac{5}{8} \vec{AB} + \vec{AD} + \frac{5}{8} \vec{AA_1}\), |AM| = \frac{\sqrt{114}}{8}
