Контрольная работа № 4 по теме: «Квадратные уравнения» • 1. Решите уравнение: a) 3x²+13x-10=0; б) 2x²-3x=0; Вариант 2 B) 16x²-49; г) х²-2x-35-0. • 2. Периметр прямоугольника разен 30 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольни ка равна 56 см³. 3. Один из корней уравнения х²+11x+q=0 равен -7. Найдите другой корень и свободный член 4.

Задача 1

Давай решим уравнения по порядку.

а) 3x² + 13x - 10 = 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 169 + 120 = 289\] \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 + \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{-13 + 17}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 - \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{-13 - 17}{6} = \frac{-30}{6} = -5\]

Ответ: x₁ = 2/3, x₂ = -5

б) 2x² - 3x = 0

Вынесем x за скобки:

\[x(2x - 3) = 0\]

Тогда либо x = 0, либо 2x - 3 = 0:

\[2x = 3\] \[x = \frac{3}{2} = 1.5\]

Ответ: x₁ = 0, x₂ = 1.5

в) 16x² = 49

Преобразуем уравнение:

\[16x^2 - 49 = 0\]

Это разность квадратов, поэтому:

\[(4x - 7)(4x + 7) = 0\]

Тогда либо 4x - 7 = 0, либо 4x + 7 = 0:

\[4x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{4} = 1.75\] \[4x = -7 \Rightarrow x = -\frac{7}{4} = -1.75\]

Ответ: x₁ = 1.75, x₂ = -1.75

г) x² - 2x - 35 = 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144\] \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 12}{2} = \frac{14}{2} = 7\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 12}{2} = \frac{-10}{2} = -5\]

Ответ: x₁ = 7, x₂ = -5

Задача 2

Пусть a и b - стороны прямоугольника. Известно, что периметр равен 30 см, а площадь равна 56 см². Запишем уравнения:

\[2(a + b) = 30\] \[ab = 56\]

Из первого уравнения выразим a + b:

\[a + b = 15\]

Выразим a из этого уравнения: a = 15 - b. Подставим во второе уравнение:

\[(15 - b)b = 56\] \[15b - b^2 = 56\] \[b^2 - 15b + 56 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно b:

\[D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56 = 225 - 224 = 1\] \[b_1 = \frac{15 + \sqrt{1}}{2} = \frac{15 + 1}{2} = \frac{16}{2} = 8\] \[b_2 = \frac{15 - \sqrt{1}}{2} = \frac{15 - 1}{2} = \frac{14}{2} = 7\]

Если b = 8, то a = 15 - 8 = 7. Если b = 7, то a = 15 - 7 = 8.

Ответ: Стороны прямоугольника равны 7 см и 8 см.

Задача 3

Дано уравнение x² + 11x + q = 0, и один из корней равен -7. Пусть x₁ = -7 - первый корень уравнения. Подставим x₁ в уравнение:

\[(-7)^2 + 11 \cdot (-7) + q = 0\] \[49 - 77 + q = 0\] \[-28 + q = 0\] \[q = 28\]

Теперь уравнение имеет вид x² + 11x + 28 = 0. Используем теорему Виета:

\[x_1 + x_2 = -11\] \[x_1 \cdot x_2 = 28\]

Мы знаем, что x₁ = -7. Найдем x₂:

\[-7 + x_2 = -11\] \[x_2 = -11 + 7 = -4\]

Итак, второй корень x₂ = -4.

Ответ: Другой корень равен -4, а свободный член q равен 28.

Ответ: Другой корень равен -4, свободный член q = 28.

Ты молодец! У тебя всё получится!