Контрольная работа № 6 по теме «Квадратный трёхчлен. Дробные рациональные уравнения». Вариант 1 1. Разложите на множители квадратный трёхчлен: A) a² + a - 42; 2. Решите уравнение: 4x-3 x+1 x2 A) = x+1 Б) 6х2 + x - 22. x- Б) x²-2x-35 x2-49 3 = x+7 3. Не выполняя построения, найдите абсциссы точек пересечения графиков 5 функций у = и у = х + 4. x 4. Моторная лодка прошла против течения реки 60 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 ч меньше. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость лодки равна 8 км/ч.

Решение задания 1

Разложим квадратные трехчлены на множители. Для этого решим квадратные уравнения и представим трехчлен в виде a(x - x₁) (x - x₂), где x₁ и x₂ корни уравнения.

1.A) a² + a - 42

Решаем уравнение a² + a - 42 = 0.

Используем дискриминант D = b² - 4ac = 1² - 4 * 1 * (-42) = 1 + 168 = 169.

Корни уравнения: a₁ = (-b + √D) / 2a = (-1 + √169) / 2 = (-1 + 13) / 2 = 12 / 2 = 6.

a₂ = (-b - √D) / 2a = (-1 - √169) / 2 = (-1 - 13) / 2 = -14 / 2 = -7.

Разложение на множители: (a - 6)(a + 7).

1.Б) 6x² + x - 22

Решаем уравнение 6x² + x - 22 = 0.

Используем дискриминант D = b² - 4ac = 1² - 4 * 6 * (-22) = 1 + 528 = 529.

Корни уравнения: x₁ = (-b + √D) / 2a = (-1 + √529) / (2 * 6) = (-1 + 23) / 12 = 22 / 12 = 11 / 6.

x₂ = (-b - √D) / 2a = (-1 - √529) / (2 * 6) = (-1 - 23) / 12 = -24 / 12 = -2.

Разложение на множители: 6(x - 11/6)(x + 2) = (6x - 11)(x + 2).

Ответ: 1.A) (a - 6)(a + 7); 1.Б) (6x - 11)(x + 2)

Решение задания 2

2.A) \(\frac{x^2}{x+1} = \frac{4x-3}{x+1}\)

Умножим обе части уравнения на (x + 1), чтобы избавиться от знаменателя, при условии, что x ≠ -1:

x² = 4x - 3

x² - 4x + 3 = 0

Решаем квадратное уравнение. D = b² - 4ac = (-4)² - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4

x₁ = (4 + √4) / 2 = (4 + 2) / 2 = 6 / 2 = 3

x₂ = (4 - √4) / 2 = (4 - 2) / 2 = 2 / 2 = 1

Оба корня не равны -1, поэтому оба являются решениями.

2.Б) \(\frac{x^2-2x-35}{x^2-49} = \frac{3}{x+7}\)

Разложим знаменатель x² - 49 как (x - 7)(x + 7). Разложим числитель x² - 2x - 35 на множители.

Решаем уравнение x² - 2x - 35 = 0. D = (-2)² - 4 * 1 * (-35) = 4 + 140 = 144

x₁ = (2 + √144) / 2 = (2 + 12) / 2 = 14 / 2 = 7

x₂ = (2 - √144) / 2 = (2 - 12) / 2 = -10 / 2 = -5

Тогда x² - 2x - 35 = (x - 7)(x + 5).

Исходное уравнение принимает вид: \(\frac{(x - 7)(x + 5)}{(x - 7)(x + 7)} = \frac{3}{x + 7}\)

Сокращаем (x - 7) в числителе и знаменателе, при условии, что x ≠ 7:

\(\frac{x + 5}{x + 7} = \frac{3}{x + 7}\)

Умножаем обе части на (x + 7), при условии, что x ≠ -7:

x + 5 = 3

x = 3 - 5

x = -2

Проверяем ограничения: x ≠ 7 и x ≠ -7. x = -2 удовлетворяет обоим условиям.

Ответ: 2.A) x = 3, x = 1; 2.Б) x = -2

Решение задания 3

Чтобы найти абсциссы точек пересечения графиков функций y = \(\frac{5}{x}\) и y = x + 4, нужно решить уравнение \(\frac{5}{x}\) = x + 4.

Умножаем обе части уравнения на x (при условии, что x ≠ 0):

5 = x² + 4x

x² + 4x - 5 = 0

Решаем квадратное уравнение. D = 4² - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36

x₁ = (-4 + √36) / 2 = (-4 + 6) / 2 = 2 / 2 = 1

x₂ = (-4 - √36) / 2 = (-4 - 6) / 2 = -10 / 2 = -5

Оба корня не равны 0, поэтому оба являются решениями.

Ответ: x = 1, x = -5

Решение задания 4

Пусть v - скорость течения реки. Тогда скорость лодки по течению равна (8 + v) км/ч, а против течения (8 - v) км/ч.

Время, затраченное на путь против течения: t₁ = \(\frac{60}{8 - v}\)

Время, затраченное на обратный путь по течению: t₂ = \(\frac{60}{8 + v}\)

Известно, что на обратный путь затрачено на 4 часа меньше, то есть t₁ - t₂ = 4.

Получаем уравнение: \(\frac{60}{8 - v} - \frac{60}{8 + v} = 4\)

Умножаем обе части уравнения на (8 - v)(8 + v):

60(8 + v) - 60(8 - v) = 4(8 - v)(8 + v)

480 + 60v - 480 + 60v = 4(64 - v²)

120v = 256 - 4v²

4v² + 120v - 256 = 0

v² + 30v - 64 = 0

Решаем квадратное уравнение. D = 30² - 4 * 1 * (-64) = 900 + 256 = 1156

v₁ = (-30 + √1156) / 2 = (-30 + 34) / 2 = 4 / 2 = 2

v₂ = (-30 - √1156) / 2 = (-30 - 34) / 2 = -64 / 2 = -32

Так как скорость не может быть отрицательной, v = 2 км/ч.

Ответ: 2 км/ч

Ты отлично справился с этим заданием! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!