Контрольная работа № 3 по теме «Подобие треугольников» ІІ вариант 1. Дано: РЕ || NK, MP-8, MN 12, МЕ 6. (рисунок) Найти: a) MK; 6) PE: NK; B) SME S 2. ДАВС АВ =12см, ВС=18см, В-70°, а в ДМК М№ 6 см, №К 9 см, / №№ 70°. Найдите сторону АС и угол С треугольника АВС, если МК- 7 см, ZK=60" 3. Отрезки АВ и CD пересекаются в т. О так, что / АСО= /BDO, АО: ОВ - 2:3. Найдите периметр треугольника АСО, если периметр треугольника BOD равен 21 см. 4*. В трапеции ABCD (AD и ВС основания) диагонали пересекаются в точке О, Глаз 32 см³, Spос 8 см³. Найдите меньшее основание трапеции, если большее из них равно 10 CM

Задание 1

Для решения задачи необходимо воспользоваться теоремой о пропорциональных отрезках, образованных параллельными прямыми.

• Дано: PE || NK, MP = 8, MN = 12, ME = 6
• Найти: MK, PE:NK, S_MEP : S_MNK

a) Найдем MK:

Так как PE || NK, то MP/MK = ME/EN.

EN = MN - ME = 12 - 6 = 6.

Тогда MP/MK = ME/EN => 8/MK = 6/6 => MK = 8.

б) Найдем PE:NK:

Так как PE || NK, то треугольники MEP и MNK подобны. Значит, PE/NK = ME/MN.

PE/NK = 6/12 = 1/2.

в) Найдем S_MEP : S_MNK:

Так как треугольники MEP и MNK подобны, то отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия.

S_MEP / S_MNK = (ME/MN)² = (6/12)² = (1/2)² = 1/4.

Задание 2

Для решения задачи необходимо воспользоваться теоремой косинусов и теоремой синусов.

• Дано: AB = 12 см, BC = 18 см, ∠B = 70°, MN = 6 см, NK = 9 см, ∠N = 70°, MK = 7 см, ∠K = 60°
• Найти: AC, ∠C

Рассмотрим треугольник ABC:

По теореме косинусов:

AC² = AB² + BC² - 2 * AB * BC * cos(B).

AC² = 12² + 18² - 2 * 12 * 18 * cos(70°).

AC² = 144 + 324 - 432 * 0.342.

AC² = 468 - 147.7 = 320.3.

AC = √320.3 ≈ 17.9 см.

Рассмотрим треугольник MNK:

MN/AB = 6/12 = 1/2.

NK/BC = 9/18 = 1/2.

MK/AC = 7/17.9 ≈ 1/2.5.

Так как стороны треугольников не пропорциональны, то треугольники не подобны, и найти угол C невозможно.

Задание 3

Для решения задачи необходимо воспользоваться свойствами подобных треугольников.

• Дано: ∠ACO = ∠BDO, AO:OB = 2:3, P_BOD = 21 см
• Найти: P_ACO

Так как ∠ACO = ∠BDO и ∠AOC = ∠BOD (вертикальные углы), то треугольники ACO и BDO подобны по двум углам.

Так как AO:OB = 2:3, то коэффициент подобия k = 2/3.

P_ACO / P_BOD = k.

P_ACO = k * P_BOD = (2/3) * 21 = 14 см.

Задание 4

Для решения задачи необходимо воспользоваться свойствами подобных треугольников и трапеций.

• Дано: S_AOD = 32 см², S_BOC = 8 см², AD = 10 см
• Найти: BC

Треугольники BOC и AOD подобны.

(BC/AD)² = S_BOC / S_AOD.

(BC/10)² = 8/32.

(BC/10)² = 1/4.

BC/10 = 1/2.

BC = 5 см.