Контрольная работа № 7 по теме: «Последовательности и прогрессии». (10 класс. Углубленный уровень). Вариант 1. 1. Напишите первый, тридцатый и сотый члены последовательности, если её п – й член задается формулой х п = 5+ 5(-1)ⁿ. 2. Найдите тридцать второй член арифметической прогрессии, если а₁ = 65, d = -2. Является ли число 105 членом арифметической прогрессии? Если да, то определите номер этого члена. 3. Найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если B₄=4, а в₆= 16. 4. Найти второй член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма её членов равна 5/4 , а знаменатель равен 3/4 5. Записать бесконечную периодическую дробь 0,(43) в виде обыкновенной дроби. 6. Вычислить: а) lim (-7 n⁴ +6 n²-1)/(8n⁴-n+6) б) lim (2n²-1)/(n²+5) n→∞ n→∞

Решение:

1. Дана формула для n-го члена последовательности: \( x_n = 5 + 5(-1)^n \)

* Первый член (n=1): \( x_1 = 5 + 5(-1)^1 = 5 - 5 = 0 \)

* Тридцатый член (n=30): \( x_{30} = 5 + 5(-1)^{30} = 5 + 5 = 10 \)

* Сотый член (n=100): \( x_{100} = 5 + 5(-1)^{100} = 5 + 5 = 10 \)

Ответ: Первый член: 0, Тридцатый член: 10, Сотый член: 10.

2. Дана арифметическая прогрессия: \( a_1 = 65, d = -2 \)

* Тридцать второй член: \( a_{32} = a_1 + (32-1)d = 65 + 31(-2) = 65 - 62 = 3 \)

* Проверим, является ли число 105 членом прогрессии: \( a_n = a_1 + (n-1)d \)

* \( 105 = 65 + (n-1)(-2) \)

* \( 40 = (n-1)(-2) \)

* \( -20 = n-1 \)

* \( n = -19 \) - не является, так как n должно быть натуральным числом

Ответ: Тридцать второй член: 3. Число 105 не является членом данной прогрессии.

3. Дана геометрическая прогрессия: \( b_4 = 4, b_6 = 16 \)

* \( b_6 = b_4 * q^2 \), где q - знаменатель прогрессии

* \( 16 = 4 * q^2 \)

* \( q^2 = 4 \)

* \( q = \pm 2 \)

* Сумма первых пяти членов: \( S_5 = b_1 * \frac{1-q^5}{1-q} \)

* Найдем \( b_1 \) используя \( b_4 = b_1 * q^3 \)

* Если \( q = 2 \), то \( 4 = b_1 * 2^3 \Rightarrow b_1 = \frac{1}{2} \)

* Тогда \( S_5 = \frac{1}{2} * \frac{1-2^5}{1-2} = \frac{1}{2} * \frac{-31}{-1} = \frac{31}{2} = 15.5 \)

* Если \( q = -2 \), то \( 4 = b_1 * (-2)^3 \Rightarrow b_1 = -\frac{1}{2} \)

* Тогда \( S_5 = -\frac{1}{2} * \frac{1-(-2)^5}{1-(-2)} = -\frac{1}{2} * \frac{33}{3} = -\frac{11}{2} = -5.5 \)

Ответ: Если q=2, то S_5 = 15.5. Если q=-2, то S_5 = -5.5.

4. Дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия: \( S = \frac{5}{4}, q = \frac{3}{4} \)

* Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии: \( S = \frac{b_1}{1-q} \)

* \( \frac{5}{4} = \frac{b_1}{1-\frac{3}{4}} \)

* \( \frac{5}{4} = \frac{b_1}{\frac{1}{4}} \)

* \( b_1 = \frac{5}{4} * \frac{1}{4} = \frac{5}{16} \)

* Второй член: \( b_2 = b_1 * q = \frac{5}{16} * \frac{3}{4} = \frac{15}{64} \)

Ответ: Второй член равен 15/64.

5. Запишем бесконечную периодическую дробь 0,(43) в виде обыкновенной дроби.

* Пусть \( x = 0,(43) = 0,434343... \)

* Тогда \( 100x = 43,434343... \)

* Вычтем из второго уравнения первое: \( 100x - x = 43,434343... - 0,434343... \)

* \( 99x = 43 \)

* \( x = \frac{43}{99} \)

Ответ: 43/99.

6. Вычислим пределы:

* a) \( lim_{n \to \infty} \frac{-7n^4 + 6n^2 - 1}{8n^4 - n + 6} \)

* Разделим числитель и знаменатель на \( n^4 \)

* \( lim_{n \to \infty} \frac{-7 + \frac{6}{n^2} - \frac{1}{n^4}}{8 - \frac{1}{n^3} + \frac{6}{n^4}} = \frac{-7 + 0 - 0}{8 - 0 + 0} = -\frac{7}{8} \)

* б) \( lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 - 1}{n^2 + 5} \)

* Разделим числитель и знаменатель на \( n^2 \)

* \( lim_{n \to \infty} \frac{2 - \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{5}{n^2}} = \frac{2 - 0}{1 + 0} = 2 \)

Ответ: а) -7/8, б) 2.