Контрольная работа № 3 по теме «Проекции. Расстояния. Углы» Вариант 1 1. Изобразите куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ и точку $$M$$ на ребре $$BB_1$$, такую, что $$B_1M:MB=1:2$$. Пусть ребро куба равно $$6$$. Вычислите: а) $$|M; D_1D|$$; б) $$|M; CD|$$; в) $$|A_1; CD|$$; г) $$|M;(DCC_1)|$$; д) $$tg \angle (MC; (AA_1B_1))$$; e) $$tg \angle ((AMC); (ABC))$$; ж) $$tg \angle (AM; CD)$$. 2. В параллелограмме $$ABCD$$ $$\angle A = 60^\circ$$, $$AB=4$$, $$AD = 4$$. К плоскости параллелограмма проведен перпендикуляр через вершину $$B$$ и на нем отложен отрезок $$BM = 2\sqrt{3}$$. Точка $$K$$ — середина $$MD$$. Вычислите: а) $$|M; AC|$$; б) $$|M; CD|$$; в) $$|K;(ABC)|$$; г) $$\angle ((MBD); (MBC))$$; д) $$sin \angle ((MDC); (ABC))$$. 3. Верно ли утверждение: если две плоскости перпендикулярны к третьей, то они параллельны? Вариант 2 1. Изобразите куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ и точку $$K$$ на ребре $$CC_1$$,-такую, что $$C_1K:KC=1:3$$. Пусть ребро куба равно 4. Вычислите: a) $$|K; AA_1|$$; б) $$|K; AD|$$; в) $$|C_1C; AB|$$; г) $$|K;(ABB_1)|$$; д) $$tg \angle (KB; (CC_1D_1))$$; e) $$tg \angle ((KBD); (ABC))$$; ж) $$tg \angle (BK; AD)$$. 2. В параллелограмме $$ABCD$$ $$\angle A = 60^\circ$$, $$AB = 6$$, $$AD = 6$$.-К плоскости параллелограмма проведен перпендикуляр через вершину $$B$$ и на нем отложен отрезок $$BK = 3\sqrt{3}$$. Точка $$M$$ — середина $$KD$$. Вычислите: а) $$|K; AC|$$; б) $$|K; AD|$$;-в) $$|M; (ABC)|$$; г) $$\angle ((KBD); (KBA))$$; д) $$sin \angle ((KAD); (ABC))$$. 3. Верно ли утверждение: если две плоскости перпендикулярны друг другу?

Вариант 1

1. Изображение куба $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ и точки $$M$$ на ребре $$BB_1$$ строится по условию $$B_1M:MB = 1:2$$.

   Пусть ребро куба равно 6.

   • a) $$|M; D_1D|$$: Так как $$M$$ лежит на $$BB_1$$, а $$D_1D$$ перпендикулярно $$BB_1$$, то $$|M; D_1D| = BD = 6\sqrt{2}$$.
   • б) $$|M; CD|$$: Аналогично, $$|M; CD| = AC = 6\sqrt{2}$$.
   • в) $$|A_1; CD| = A_1D = 6\sqrt{2}$$.
   • г) $$|M;(DCC_1)|$$: Расстояние от $$M$$ до плоскости $$(DCC_1)$$ равно расстоянию от $$B$$ до $$CD$$, то есть $$BC = 6$$.
   • д) $$tg \angle (MC; (AA_1B_1))$$: Проекцией $$MC$$ на плоскость $$(AA_1B_1)$$ является $$MB$$. Тогда $$tg \angle (MCB) = \frac{BC}{MB} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$.
   • е) $$tg \angle ((AMC); (ABC))$$: Пусть $$O$$ - проекция $$M$$ на $$AC$$, тогда $$MO$$ - высота, а $$AM$$ лежит в плоскости $$(AA_1B_1B)$$. $$tg \angle ((AMC); (ABC)) = \frac{MO}{AC} = \frac{4}{6\sqrt{2}} = \frac{2}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$$.
   • ж) $$tg \angle (AM; CD)$$: $$AM = \sqrt{AB^2 + BM^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$$. $$MD = \sqrt{MC^2 + CD^2} = \sqrt{4+36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$$. $$\angle(AM; CD) = 0$$

2. В параллелограмме $$ABCD$$ $$\angle A = 60^\circ$$, $$AB = 4$$, $$AD = 4$$. $$BM = 2\sqrt{3}$$, $$K$$ - середина $$MD$$.

   • а) $$|M; AC|$$: $$|M; AC| = MB = 2\sqrt{3}$$.
   • б) $$|M; CD|$$: $$|M; CD| = MB = 2\sqrt{3}$$.
   • в) $$|K;(ABC)|$$: Расстояние от $$K$$ до плоскости $$(ABC)$$ равно половине расстояния от $$D$$ до плоскости $$(ABC)$$, то есть $$\frac{1}{2}MB = \sqrt{3}$$.
   • г) $$\angle ((MBD); (MBC))$$: $$\angle ((MBD); (MBC)) = 90^\circ$$.
   • д) $$sin \angle ((MDC); (ABC))$$: $$sin \angle ((MDC); (ABC)) = \frac{MB}{MD} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{(4\sqrt{3})^2 + 16}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{48+16}} = \frac{2\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{4}$$.

3. Утверждение: если две плоскости перпендикулярны к третьей, то они параллельны? Неверно.

Вариант 2

1. Изобразите куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ и точку $$K$$ на ребре $$CC_1$$,-такую, что $$C_1K:KC=1:3$$.

   Пусть ребро куба равно 4.

   • a) $$|K; AA_1| = AC = 4\sqrt{2}$$.
   • б) $$|K; AD| = AC = 4\sqrt{2}$$.
   • в) $$|C_1C; AB| = 4\sqrt{2}$$.
   • г) $$|K;(ABB_1)| = BC = 4$$.
   • д) $$tg \angle (KB; (CC_1D_1))$$: $$tg \angle (KB; (CC_1D_1)) = \frac{BC}{KC} = \frac{4}{3}$$.
   • e) $$tg \angle ((KBD); (ABC))$$: $$tg \angle ((KBD); (ABC)) = \frac{BK}{BD} = \frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{6}}{8}$$.
   • ж) $$tg \angle (BK; AD)$$: $$BK = \sqrt{BC^2 + CK^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$$, $$tg \angle (BK; AD) = 0$$.

2. В параллелограмме $$ABCD$$ $$\angle A = 60^\circ$$, $$AB = 6$$, $$AD = 6$$. $$BK = 3\sqrt{3}$$, $$M$$ - середина $$KD$$.

   • а) $$|K; AC| = BK = 3\sqrt{3}$$.
   • б) $$|K; AD| = BK = 3\sqrt{3}$$.
   • в) $$|M; (ABC)|$$: Расстояние от $$M$$ до плоскости $$(ABC)$$ равно половине расстояния от $$K$$ до плоскости $$(ABC)$$, то есть $$\frac{1}{2}BK = \frac{3\sqrt{3}}{2}$$.
   • г) $$\angle ((KBD); (KBA))$$: $$\angle ((KBD); (KBA)) = 90^\circ$$.
   • д) $$sin \angle ((KAD); (ABC))$$: $$sin \angle ((KAD); (ABC)) = \frac{BK}{AK} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{(3\sqrt{3})^2 + 36}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{27+36}} = \frac{3\sqrt{3}}{3\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \sqrt{\frac{3}{7}}$$.

3. Утверждение: если две плоскости перпендикулярны к третьей, то они перпендикулярны друг другу? Неверно.