Контрольная работа № 5 по теме «Прямоугольный треугольник». Вариант № 1 1. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если один из них на 29° меньше другого. 2. В прямоугольном треугольнике ABC ∠C= 90°, ВС = 9 см, внешний угол при вершине В равен 120°. Найти длину гипотенузы АВ. 3. Угол между высотой СН и катетом СА прямоугольного треугольника АВС (∠C= 90°) равен 14°. Найти острые углы треугольника АВС. 4. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 18 см. Найдите гипотенузу и этот катет. 5. На рисунке AD биссектриса угла D, BD = 5 см. Найдите CD

Решение Вариант № 1:

1. Пусть один из острых углов равен $$x$$, тогда второй угол равен $$x + 29°$$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

   Составим уравнение:

   $$x + x + 29° = 90°$$ $$2x = 90° - 29°$$ $$2x = 61°$$ $$x = 30.5°$$

   Тогда второй угол равен:

   $$30.5° + 29° = 59.5°$$

   Ответ: Острые углы равны 30.5° и 59.5°.

2. В прямоугольном треугольнике ABC ∠C= 90°, ВС = 9 см, внешний угол при вершине В равен 120°. Найти длину гипотенузы АВ.

   Внешний угол при вершине B равен 120°, значит, внутренний угол при вершине B равен:

   $$180° - 120° = 60°$$

   Тогда угол A равен:

   $$90° - 60° = 30°$$

   Катет BC лежит против угла в 30°, значит гипотенуза AB в два раза больше катета BC:

   $$AB = 2 \cdot BC = 2 \cdot 9 = 18$$

   Ответ: Гипотенуза AB равна 18 см.

3. Угол между высотой СН и катетом СА прямоугольного треугольника АВС (∠C= 90°) равен 14°. Найти острые углы треугольника АВС.

   Угол HCA равен 14°, значит, угол ACH равен 14°.

   В прямоугольном треугольнике ACH угол A равен:

   $$90° - 14° = 76°$$

   Тогда угол B равен:

   $$90° - 76° = 14°$$

   Ответ: Острые углы треугольника ABC равны 76° и 14°.

4. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 18 см. Найдите гипотенузу и этот катет.

   Пусть гипотенуза равна $$c$$, а меньший катет (лежащий против угла 30°) равен $$a$$. Тогда $$c - a = 18$$.

   Известно, что в прямоугольном треугольнике с углом 30° гипотенуза в два раза больше катета, лежащего против этого угла, то есть $$c = 2a$$.

   Подставим это выражение в первое уравнение:

   $$2a - a = 18$$ $$a = 18$$

   Тогда гипотенуза равна:

   $$c = 2 \cdot 18 = 36$$

   Ответ: Гипотенуза равна 36 см, катет равен 18 см.

5. На рисунке AD биссектриса угла D, BD = 5 см. Найдите CD

   Рассмотрим треугольник ABD и ACD:

   AD - общая, углы ADB и ADC равны(так как AD биссектриса), углы DBC и DCA = 90°

   Следовательно треугольники равны.

   Отсюда CD = BD = 5 см.

   Ответ: CD = 5 см

Вариант № 2

1. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если один из них в 5 раз больше другого.

   Пусть меньший угол равен х, тогда больший равен 5х. Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, то:

   $$x+5x = 90°$$
   $$6x = 90°$$
   $$x = 15°$$

   Тогда больший угол равен:

   $$5 \cdot 15° = 75°$$

   Ответ: Острые углы треугольника равны 15° и 75°.

2. В прямоугольном треугольнике АВС ∠C= 90°, АВ = 15 см, внешний угол при вершине В равен 150°. Найти длину катета АС.

   Внешний угол при вершине В равен 150°, значит, внутренний угол при вершине B равен:

   $$180° - 150° = 30°$$

   Тогда угол A равен:

   $$90° - 30° = 60°$$

   Катет BC лежит против угла в 30°, значит гипотенуза AB в два раза больше катета BC:

   $$BC = \frac{AB}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$$

   По теореме Пифагора:

   $$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{15^2 - 7.5^2} = \sqrt{225 - 56.25} = \sqrt{168.75} = 12.99$$

   Ответ: Катет AC равен 12.99 см.

3. Угол между биссектрисой ВК и катетом АС прямоугольного треугольника АВС (∠C= 90°) равен 57°. Найти острые углы треугольника АВС.

   Пусть угол между биссектрисой ВК и катетом АС равен 57°, то есть угол ВКС равен 57°.

   В треугольнике ВКС угол B равен:

   $$180° - 90° - 57° = 33°$$

   Так как ВК биссектриса, то угол ABC равен:

   $$33° \cdot 2 = 66°$$

   Тогда угол A равен:

   $$90° - 66° = 24°$$

   Ответ: Острые углы треугольника ABC равны 24° и 66°.

4. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, a разность гипотенузы и меньшего катета равна 15 см. Найдите гипотенузу и этот катет.

   Пусть гипотенуза равна $$c$$, а меньший катет (лежащий против угла 30°) равен $$a$$. Тогда $$c - a = 15$$.

   Известно, что в прямоугольном треугольнике с углом 30° гипотенуза в два раза больше катета, лежащего против этого угла, то есть $$c = 2a$$.

   Подставим это выражение в первое уравнение:

   $$2a - a = 15$$ $$a = 15$$

   Тогда гипотенуза равна:

   $$c = 2 \cdot 15 = 30$$

   Ответ: Гипотенуза равна 30 см, катет равен 15 см.

5. На рисунке АBICD, ZACD=47°. Найдите ∠BAC

   Так как ABCD - прямоугольник, то угол CAD равен 90°.

   Угол ACD равен 47°, тогда угол CAB равен:

   $$90° - 47° = 43°$$

   Ответ: Угол BAC равен 43°.