Контрольная работа № 4 по теме: «Теорема Пифагора и начала тригонометрии» Вариант 2 1. Катеты прямоугольного треугольника равны 24 см и 7 см. Найди гипотенузу данного треугольника. 2. Сторона прямоугольника равна 15, а диагональ равна 17. Найдите другую сторону прямоугольника. 3. Найдите катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 20 дм, а второй катет равен 16 дм. 4. Найдите синус, косинус, тангенс углов А и В прямоугольного треугольника АВС, если: а) AC = 3, AB = 5; 6) AC=10, BC=8; в) ВС = 3√3, AB=6√2. 5. В прямоугольном треугольнике один из катетеров равен Ъ, а противолежащий угол равен В. Найдите другой катет треугольника и гипотенузу, если: a) b = 20, ∠B = 45°; 6) b =10, ∠B=60°; в) b =4√3, ∠B=30°.

Решение:

1. Задача 1:

   Дано: Прямоугольный треугольник с катетами 24 см и 7 см.

   Найти: Гипотенузу.

   Решение: Используем теорему Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

   \[c = \sqrt{a^2 + b^2}\]

   \[c = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25 \,\text{см}\]

   Ответ: 25 см

2. Задача 2:

   Дано: Прямоугольник со стороной 15 и диагональю 17.

   Найти: Другую сторону прямоугольника.

   Решение: Используем теорему Пифагора: квадрат диагонали равен сумме квадратов сторон.

   \[a^2 + b^2 = c^2\]

   \[b = \sqrt{c^2 - a^2}\]

   \[b = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8\]

   Ответ: 8

3. Задача 3:

   Дано: Прямоугольный треугольник с гипотенузой 20 дм и катетом 16 дм.

   Найти: Другой катет.

   Решение: Используем теорему Пифагора.

   \[a^2 + b^2 = c^2\]

   \[a = \sqrt{c^2 - b^2}\]

   \[a = \sqrt{20^2 - 16^2} = \sqrt{400 - 256} = \sqrt{144} = 12 \,\text{дм}\]

   Ответ: 12 дм

4. Задача 4:

   Дано: Треугольник ABC, прямоугольный.

   Найти: Синус, косинус и тангенс углов A и B.

   1. AC = 3, AB = 5 (Предполагаем, что AB - гипотенуза, так как это самая длинная сторона)

      BC = \(\sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\)

      \[\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{5} = 0.8\]

      \[\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{5} = 0.6\]

      \[\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{4}{3} = 1.\overline{3}\]

      \[\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{5} = 0.6\]

      \[\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{5} = 0.8\]

      \[\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{3}{4} = 0.75\]

   2. AC = 10, BC = 8 (Предполагаем, что AC - гипотенуза, так как это самая длинная сторона)

      AB = \(\sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6\)

      \[\sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{10} = 0.8\]

      \[\cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{10} = 0.6\]

      \[\tan A = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{6} = 1.\overline{3}\]

      \[\sin B = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{10} = 0.6\]

      \[\cos B = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{10} = 0.8\]

      \[\tan B = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{8} = 0.75\]

   3. BC = 3\(\sqrt{3}\), AB = 6\(\sqrt{2}\) (Предполагаем, что AB - гипотенуза, так как это самая длинная сторона)

      AC = \(\sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 - (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{72 - 27} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\)

      \[\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{3\sqrt{3}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4} \approx 0.612\]

      \[\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{3\sqrt{5}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{4} \approx 0.791\]

      \[\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{3\sqrt{3}}{3\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5} \approx 0.775\]

      \[\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{3\sqrt{5}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{4} \approx 0.791\]

      \[\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{3\sqrt{3}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4} \approx 0.612\]

      \[\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{3\sqrt{5}}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{15}}{3} \approx 1.291\]

5. Задача 5:

   Дано: Прямоугольный треугольник, катет b и противолежащий угол B.

   Найти: Другой катет и гипотенузу.

   1. b = 20, \(\angle B = 45^\circ\)

      \[\tan B = \frac{b}{a} \implies a = \frac{b}{\tan B} = \frac{20}{\tan 45^\circ} = \frac{20}{1} = 20\]

      \[c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{20^2 + 20^2} = \sqrt{800} = 20\sqrt{2} \approx 28.28\]

      Ответ: a = 20, c = 20\(\sqrt{2}\)

   2. b = 10, \(\angle B = 60^\circ\)

      \[a = \frac{b}{\tan B} = \frac{10}{\tan 60^\circ} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \approx 5.77\]

      \[c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{\left(\frac{10\sqrt{3}}{3}\right)^2 + 10^2} = \sqrt{\frac{100}{3} + 100} = \sqrt{\frac{400}{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3} \approx 11.55\]

      Ответ: a = \(\frac{10\sqrt{3}}{3}\), c = \(\frac{20\sqrt{3}}{3}\)

   3. b = 4\(\sqrt{3}\), \(\angle B = 30^\circ\)

      \[a = \frac{b}{\tan B} = \frac{4\sqrt{3}}{\tan 30^\circ} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 12\]

      \[c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{144 + 48} = \sqrt{192} = 8\sqrt{3} \approx 13.86\]

      Ответ: a = 12, c = 8\(\sqrt{3}\)