Контрольная работа № 2 по теме «Треугольники» Вариант 1 1. Докажите равенство треугольников ABF и CBD (рис. 42), если АВ = BC и BF = BD. 2. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 33 см, а основание на 3 см меньше боковой стороны. 3. На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС отметили соответственно точки D и Е так, что ZACD = ∠CAE. Докажи те, что AD = СЕ. 4. Известно, что ЕК = FK и ЕС = FC (рис. 43). Докажите, что ZEMK = ∠FMK. 5. Серединный перпендикуляр стороны АВ треугольника АВС пересекает его сторону АС в точке М. Найдите сторону АС треугольника АВС, если ВС = 8 см, а периметр треугольника МВС равен 25 см.

1. Доказательство равенства треугольников ABF и CBD:

Для доказательства равенства треугольников ABF и CBD, рассмотрим их:

1. АВ = BC (по условию).
2. BF = BD (по условию).
3. ∠ABF = ∠CBD (как вертикальные углы).

Следовательно, треугольники ABF и CBD равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

2. Нахождение сторон равнобедренного треугольника:

Пусть x см - боковая сторона, тогда (x - 3) см - основание. Периметр треугольника равен сумме всех сторон, следовательно:

$$x + x + (x - 3) = 33$$

$$3x - 3 = 33$$

$$3x = 36$$

$$x = 12$$

Боковая сторона равна 12 см, тогда основание: 12 - 3 = 9 см.

3. Доказательство равенства AD = CE:

Рассмотрим треугольники ACD и CAE:

1. AC - общая сторона.
2. ∠ACD = ∠CAE (по условию).
3. ∠BAC = ∠BCA (так как треугольник ABC равнобедренный).

Следовательно, треугольники ACD и CAE равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует, что AD = CE.

4. Доказательство равенства ∠EMK = ∠FMK:

Рассмотрим треугольник EFC. Так как EK = FK и ЕС = FC, то треугольник EFC равнобедренный, и MK - медиана, проведенная к основанию EF. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также биссектрисой. Следовательно, ∠EMK = ∠FMK.

5. Нахождение стороны АС треугольника АВС:

Периметр треугольника MBC равен 25 см, а сторона BC равна 8 см. Тогда сумма сторон MB и MC:

$$MB + MC = 25 - 8 = 17 \text{ см}$$.

Так как М - точка на стороне AC, то AC = AM + MC. Серединный перпендикуляр к стороне АВ проходит через середину АВ и перпендикулярен ей, следовательно AM = MB (свойство серединного перпендикуляра).

Тогда: $$AC = AM + MC = MB + MC = 17 \text{ см}$$.

Ответ: 1) Треугольники ABF и CBD равны; 2) Боковые стороны - 12 см, основание - 9 см; 3) AD = CE; 4) ∠EMK = ∠FMK; 5) 17 см.