КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 16 ПО ТЕМЕ: «ЦИЛИНД, КОНУС, ФЕРА, ШАР» Вариант 1 1. Развёртка боковой поверхности цилиндра является квадратом, диагональ которого равна 10 см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра. 2. Высота конуса равна 6 см, угол при вершине осевого сечения равен 120°. Найдите: а) площадь боковой поверхности конуса; б) площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен 30°. 3. Диаметр шара равен 2т. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45° к нему. Найдите длину линии пересечения сферы и этой плоскости. Вариант 2 이 1. Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в 120°. Высота цилиндра равна 5 см, радиус основания равен 23 см. Найдите площадь сечения. 2. Радиус основания конуса равен 6 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите: а) площадь боковой поверхности конуса; б) площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен 60°. 3. Сечение шара плоскостью, находящейся от его центра на расстоянии 3 см, имеет радиус 4 см. Найдите площадь сферы. Cell 4 Sy-? Sбок 2 Ju = 27r(r+h)

1. Цилиндр

Развёртка боковой поверхности цилиндра - квадрат с диагональю 10 см. Нужно найти площадь полной поверхности цилиндра.

• Диагональ квадрата связана со стороной квадрата (a) соотношением: \[d = a\sqrt{2}\]
• Отсюда, сторона квадрата: \[a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}\] см
• Сторона квадрата равна высоте цилиндра и длине окружности основания: \[h = 2\pi r = a\]
• Радиус основания: \[r = \frac{a}{2\pi} = \frac{5\sqrt{2}}{2\pi}\] см
• Площадь полной поверхности цилиндра: \[S = 2\pi r (r + h) = 2\pi \cdot \frac{5\sqrt{2}}{2\pi} (\frac{5\sqrt{2}}{2\pi} + 5\sqrt{2}) = 5\sqrt{2} (\frac{5\sqrt{2}}{2\pi} + 5\sqrt{2})\]
• Упрощаем: \[S = \frac{50}{2\pi} + 50 = \frac{25}{\pi} + 50 \approx 7.96 + 50 = 57.96\] см²

Ответ: Площадь полной поверхности цилиндра ≈ 57.96 см²

2. Конус

Высота конуса равна 6 см, угол при вершине осевого сечения равен 120°.

a) Площадь боковой поверхности конуса:

• Угол при вершине осевого сечения 120°, значит, угол между высотой и образующей равен 60°.
• Радиус основания: \[r = h \tan 60° = 6 \sqrt{3}\] см
• Образующая конуса: \[l = \frac{h}{\cos 60°} = \frac{6}{0.5} = 12\] см
• Площадь боковой поверхности: \[S = \pi r l = \pi \cdot 6\sqrt{3} \cdot 12 = 72\pi \sqrt{3} \approx 391.77\] см²

Ответ: Площадь боковой поверхности конуса ≈ 391.77 см²

б) Площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен 30°.

• Площадь сечения: \[S = \frac{1}{2} l^2 \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot 12^2 \cdot \sin 30° = \frac{1}{2} \cdot 144 \cdot 0.5 = 36\] см²

Ответ: Площадь сечения конуса ≈ 36 см²

3. Шар

Диаметр шара равен 2 м. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45° к нему. Найдите длину линии пересечения сферы и этой плоскости.

• Радиус шара: \[R = \frac{d}{2} = 1\] м
• Расстояние от центра шара до плоскости: \[d = R \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\] м
• Радиус сечения: \[r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\] м
• Длина линии пересечения (окружности): \[L = 2\pi r = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \pi \sqrt{2} \approx 4.44\] м

Ответ: Длина линии пересечения сферы и плоскости ≈ 4.44 м

1. Цилиндр

Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в 120°. Высота цилиндра равна 5 см, радиус основания равен \[2\sqrt{3}\] см. Найдите площадь сечения.

• Угол 120° соответствует \(\frac{120}{360} = \frac{1}{3}\) окружности.
• Расстояние от центра основания до плоскости сечения: \[d = r \cos (\frac{1}{2} \cdot 120°) = 2\sqrt{3} \cdot \cos 60° = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3}\] см
• Половина хорды, отсекаемой плоскостью: \[a = r \sin 60° = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\] см
• Длина хорды: \[2a = 6\] см
• Площадь сечения: \[S = h \cdot 2a = 5 \cdot 6 = 30\] см²

Ответ: Площадь сечения цилиндра = 30 см²

2. Конус

Радиус основания конуса равен 6 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 30°.

a) Площадь боковой поверхности конуса:

• Высота конуса: \[h = r \tan 30° = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\] см
• Образующая конуса: \[l = \frac{r}{\cos 30°} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}\] см
• Площадь боковой поверхности: \[S = \pi r l = \pi \cdot 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\pi \sqrt{3} \approx 130.6\] см²

Ответ: Площадь боковой поверхности конуса ≈ 130.6 см²

б) Площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен 60°.

• Площадь сечения: \[S = \frac{1}{2} l^2 \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot (4\sqrt{3})^2 \cdot \sin 60° = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \approx 20.78\] см²

Ответ: Площадь сечения конуса ≈ 20.78 см²

3. Шар

Сечение шара плоскостью, находящейся от его центра на расстоянии 3 см, имеет радиус 4 см. Найдите площадь сферы.

• Радиус сферы: \[R = \sqrt{r^2 + d^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\] см
• Площадь сферы: \[S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 5^2 = 100\pi \approx 314.16\] см²

Ответ: Площадь сферы ≈ 314.16 см²