Контрольная работа № 5 по теме «Системы уравнений» Вариант.2 1. Решите систему уравнении методом подстановки |x²-3y²=4 x+y=6 (26) 2. Решите систему уравнений методом алгебраического x²-2y²=-4 сложения | x²+2y²=12 (26) |4 x+y=10 3.Решите систему уравнений |x+3y=-3 (26) 4. Площадь прямоугольника равна 36см², а его периметр – 24см. Найдите стороны прямоугольника. (36) 5.Периметр прямоугольного треугольника равен 48 см, его гипотенуза равна 20см. Найдите катеты данного прямоугольного треугольника (36)

1. Решение системы уравнений методом подстановки

Система уравнений: \[\begin{cases}x^2 - 3y^2 = 4 \\ x + y = 6\end{cases}\]

Шаг 1: Выразим x через y из второго уравнения: \[x = 6 - y\]

Шаг 2: Подставим это выражение в первое уравнение: \[(6 - y)^2 - 3y^2 = 4\]

Шаг 3: Раскроем скобки и упростим: \[36 - 12y + y^2 - 3y^2 = 4\] \[-2y^2 - 12y + 32 = 0\] \[y^2 + 6y - 16 = 0\]

Шаг 4: Решим квадратное уравнение для y: \[y = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4(1)(-16)}}{2(1)} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{-6 \pm 10}{2}\] \[y_1 = \frac{-6 + 10}{2} = 2, \quad y_2 = \frac{-6 - 10}{2} = -8\]

Шаг 5: Найдем соответствующие значения x: \[x_1 = 6 - y_1 = 6 - 2 = 4\] \[x_2 = 6 - y_2 = 6 - (-8) = 14\]

Решения системы: (4, 2) и (14, -8)

2. Решение системы уравнений методом алгебраического сложения

Система уравнений: \[\begin{cases}x^2 - 2y^2 = -4 \\ x^2 + 2y^2 = 12\end{cases}\]

Шаг 1: Сложим два уравнения: \[(x^2 - 2y^2) + (x^2 + 2y^2) = -4 + 12\] \[2x^2 = 8\]

Шаг 2: Найдем x: \[x^2 = 4\] \[x = \pm 2\]

Шаг 3: Подставим значения x в одно из уравнений, например, во второе: \[(2)^2 + 2y^2 = 12\] \[4 + 2y^2 = 12\] \[2y^2 = 8\] \[y^2 = 4\] \[y = \pm 2\]

Шаг 4: Аналогично для x = -2: \[(-2)^2 + 2y^2 = 12\] \[4 + 2y^2 = 12\] \[2y^2 = 8\] \[y^2 = 4\] \[y = \pm 2\]

Решения системы: (2, 2), (2, -2), (-2, 2), (-2, -2)

3. Решение системы уравнений

Система уравнений: \[\begin{cases}4x + y = 10 \\ x + 3y = -3\end{cases}\]

Шаг 1: Умножим второе уравнение на -4: \[-4(x + 3y) = -4(-3)\] \[-4x - 12y = 12\]

Шаг 2: Сложим первое уравнение с новым уравнением: \[(4x + y) + (-4x - 12y) = 10 + 12\] \[-11y = 22\]

Шаг 3: Найдем y: \[y = \frac{22}{-11} = -2\]

Шаг 4: Подставим значение y в первое уравнение: \[4x + (-2) = 10\] \[4x = 12\] \[x = 3\]

Решение системы: (3, -2)

4. Нахождение сторон прямоугольника

Пусть a и b - стороны прямоугольника. Тогда: \[\begin{cases}ab = 36 \\ 2(a + b) = 24\end{cases}\]

Шаг 1: Выразим b через a из второго уравнения: \[a + b = 12\] \[b = 12 - a\]

Шаг 2: Подставим это выражение в первое уравнение: \[a(12 - a) = 36\] \[12a - a^2 = 36\] \[a^2 - 12a + 36 = 0\]

Шаг 3: Решим квадратное уравнение для a: \[(a - 6)^2 = 0\] \[a = 6\]

Шаг 4: Найдем b: \[b = 12 - a = 12 - 6 = 6\]

Стороны прямоугольника: 6 см и 6 см (квадрат)

5. Нахождение катетов прямоугольного треугольника

Пусть a и b - катеты прямоугольного треугольника, c - гипотенуза. Тогда: \[\begin{cases}a + b + c = 48 \\ c = 20\end{cases}\]

Шаг 1: Найдем сумму катетов: \[a + b = 48 - c = 48 - 20 = 28\]

Шаг 2: Используем теорему Пифагора: \[a^2 + b^2 = c^2 = 20^2 = 400\]

Шаг 3: Выразим b через a: \[b = 28 - a\]

Шаг 4: Подставим это выражение в уравнение Пифагора: \[a^2 + (28 - a)^2 = 400\] \[a^2 + 784 - 56a + a^2 = 400\] \[2a^2 - 56a + 384 = 0\] \[a^2 - 28a + 192 = 0\]

Шаг 5: Решим квадратное уравнение для a: \[a = \frac{28 \pm \sqrt{(-28)^2 - 4(1)(192)}}{2(1)} = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 768}}{2} = \frac{28 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{28 \pm 4}{2}\] \[a_1 = \frac{28 + 4}{2} = 16, \quad a_2 = \frac{28 - 4}{2} = 12\]

Шаг 6: Найдем соответствующие значения b: \[b_1 = 28 - a_1 = 28 - 16 = 12\] \[b_2 = 28 - a_2 = 28 - 12 = 16\]

Катеты треугольника: 12 см и 16 см