Контрольная работа № 5 по теме Вариант № 1 1. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если один из них на 29° меньше другого. 2. В прямоугольном треугольнике ABC ∠C = 90°, ВС = 9 см, внешний угол при вершине В равен 120°. Найти длину гипотенузы АВ. 3. Угол между высотой СН и катетом СА прямоугольного треугольника АВС (∠C= 90°) равен 14°. Найти острые углы треугольника АВС. 4. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 18 см. Найдите гипотенузу и этот катет. 5. На рисунке AD биссектриса угла D, BD = 5 см. Найдите CD A B

1. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если один из них на 29° меньше другого.

Пусть один угол x, тогда другой x + 29°. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°.

Составим уравнение:

\[x + x + 29 = 90\]\[2x = 90 - 29\]\[2x = 61\]\[x = 30.5\]

Один угол равен 30.5°, тогда другой угол равен:

\[30.5 + 29 = 60.5\]

Ответ: 30.5° и 60.5°

2. В прямоугольном треугольнике ABC ∠C = 90°, ВС = 9 см, внешний угол при вершине В равен 120°. Найти длину гипотенузы АВ.

Внешний угол при вершине B равен 120°, значит, внутренний угол B равен:

\[180 - 120 = 60\]

Тогда угол A равен:

\[90 - 60 = 30\]

Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы, то есть:

\[BC = \frac{1}{2}AB\] \[AB = 2BC = 2 \cdot 9 = 18\]

Ответ: 18 см

3. Угол между высотой СН и катетом СА прямоугольного треугольника АВС (∠C= 90°) равен 14°. Найти острые углы треугольника АВС.

Угол HCA равен 14°. Так как CH - высота, то угол HCA + угол BCA = 90°.

Следовательно, угол BCA = 90° - 14° = 76°.

Угол CAB = 90° - 76° = 14°.

Ответ: 76° и 14°

4. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 18 см. Найдите гипотенузу и этот катет.

Пусть меньший катет a, тогда гипотенуза a + 18. Так как один из углов равен 60°, то другой равен 30°.

Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы:

\[a = \frac{1}{2}(a + 18)\]\[2a = a + 18\]\[a = 18\]

Тогда гипотенуза равна:

\[18 + 18 = 36\]

Меньший катет равен 18 см, больший катет равен:

\[\sqrt{36^2 - 18^2} = \sqrt{1296 - 324} = \sqrt{972} = 18\sqrt{3}\]

Ответ: 36 см и 18\( \sqrt{3} \) см

5. На рисунке AD – биссектриса угла D, BD = 5 см. Найдите CD.

Так как AD - биссектриса угла D, и треугольники ABD и ACD прямоугольные, то треугольники равны по катету и прилежащему острому углу.

Следовательно, CD = BD = 5 см.

Ответ: 5 см