Контрольная работа № 5 по теми Вариант № 1 1. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если один из них на 29° меньше другого. 2. В прямоугольном треугольнике ABC ∠C = 90°, ВС = 9 см, внешний угол при вершине В равен 120°. Найти длину гипотенузы АВ. 3. Угол между высотой СН и катетом СА прямоугольного треугольника ABC (∠C = 90°) равен 14°. Найти острые углы треугольника АВС. 4. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 18 см. Найдите гипотенузу и этот катет. 5. На рисунке AD – биссектриса угла D, BD = 5 см. Найдите CD

Решение:

1. Пусть один острый угол равен $$x$$, тогда другой равен $$x + 29^{\circ}$$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $$90^{\circ}$$. Составим уравнение:

   $$x + x + 29^{\circ} = 90^{\circ}$$.

   $$2x = 90^{\circ} - 29^{\circ}$$.

   $$2x = 61^{\circ}$$.

   $$x = 30.5^{\circ}$$.

   Значит, один угол $$30.5^{\circ}$$, а другой $$30.5^{\circ} + 29^{\circ} = 59.5^{\circ}$$.

   Ответ: $$30.5^{\circ}$$ и $$59.5^{\circ}$$.

2. Внешний угол при вершине В равен $$120^{\circ}$$, тогда внутренний угол при вершине В равен $$180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$$. Угол С равен $$90^{\circ}$$, следовательно, угол А равен $$180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$$.

   Катет, лежащий против угла в $$30^{\circ}$$, равен половине гипотенузы. То есть, $$BC = \frac{1}{2}AB$$.

   $$AB = 2 \cdot BC = 2 \cdot 9 = 18$$ см.

   Ответ: 18 см.

3. Угол между высотой СН и катетом СА равен $$14^{\circ}$$, следовательно, угол А равен $$90^{\circ} - 14^{\circ} = 76^{\circ}$$. Угол С равен $$90^{\circ}$$, следовательно, угол В равен $$180^{\circ} - 90^{\circ} - 76^{\circ} = 14^{\circ}$$.

   Ответ: $$76^{\circ}$$ и $$14^{\circ}$$.

4. Один из углов прямоугольного треугольника равен $$60^{\circ}$$, следовательно, другой острый угол равен $$90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$$. Разность гипотенузы и меньшего катета равна 18 см. Меньший катет лежит против угла в $$30^{\circ}$$, значит, он равен половине гипотенузы. Пусть гипотенуза равна $$x$$, тогда меньший катет равен $$\frac{x}{2}$$.

   $$x - \frac{x}{2} = 18$$

   $$\frac{x}{2} = 18$$

   $$x = 36$$

   Гипотенуза равна 36 см, а меньший катет равен $$\frac{36}{2} = 18$$ см.

   Ответ: 36 см и 18 см.

5. На рисунке AD – биссектриса угла D, BD = 5 см. Найдите CD.

   AD - биссектриса угла D, следовательно, угол BDA равен углу CDA.

   Так как ABCD - квадрат (все углы прямые и AD - биссектриса), то треугольник ABD - прямоугольный и равнобедренный (углы при основании равны 45 градусов).

   Значит, BD = AB = 5 см.

   В квадрате ABCD все стороны равны, следовательно, CD = AB = 5 см.

   Ответ: 5 см.