Контрольная работа № 2 Подобие треугольников 1 вариант 1. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Од прямая касается окружности в точке К. Другая прямая пересекает окружность в точках В и С, причем АВ = 3, АС = 27. Найдите AK. 2. Из точки О, лежащей вне окружности проведены лучи ОС и ОК, пресекающие окружность в точках В, С и М, К соответственно, начина точки О. Найти длину отрезка ОС и ВС, если ОМ = 3, МК = 9, ОВ = 4. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отметили соответственно точки М и № так, что ВМ: MA = 3:2, BN: NC = 4:1. Отрезки AN и СМ пересекаются в точке К. В каком отношении прямая ВК делит сторону АС? Через точку В, лежащую внутри окружности, проведена хорда, кото- рая делится точкой В на отрезки длиной 8 см и 12 см. Найдите ради- ус окружности, если точка В удалена от её центра на 5 см. На сторонах АС и ВС треугольника АВС отметили соответственно точки К и Р так, что АК: KC = 6:1, CP: PB=1:3. На луче АВ отме- тили точку № так, что АВ = BF. Докажите, что точки К, Р и F лежат на одной прямой.

1. Рассмотрим секущую АС и касательную АК, проведенные из точки А к окружности. По теореме о касательной и секущей, имеем: $$AK^2 = AB \cdot AC$$. Подставляя известные значения, получим: $$AK^2 = 3 \cdot 27 = 81$$. Следовательно, $$AK = \sqrt{81} = 9$$.

Ответ: 9

2. По условию ОМ = 3, МК = 9, следовательно ОК = ОМ + МК = 3 + 9 = 12. Пусть ОС = x, тогда ВС = ОС - ОВ = x - 4. По теореме о секущих, проведенных из одной точки к окружности, имеем: $$OB \cdot OK = OC \cdot OM$$. Подставляя известные значения, получим: $$4 \cdot 12 = x \cdot 3$$. Отсюда $$x = \frac{4 \cdot 12}{3} = 16$$. Значит, ОС = 16, а ВС = 16 - 4 = 12.

Ответ: ОС = 16, ВС = 12

3. По теореме Чевы, прямые AN, CM и BK пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется соотношение: $$\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BN}{NC} \cdot \frac{CL}{LA} = 1$$. Из условия задачи известно, что $$\frac{BM}{MA} = \frac{3}{2}$$, следовательно, $$\frac{AM}{MB} = \frac{2}{3}$$ и $$\frac{BN}{NC} = \frac{4}{1}$$. Подставляя эти значения в теорему Чевы, получим: $$\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{1} \cdot \frac{CL}{LA} = 1$$, откуда $$\frac{CL}{LA} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{8}$$. Тогда $$\frac{AL}{LC} = \frac{8}{3}$$. Отношение, в котором прямая ВК делит сторону АС, равно $$AL:LC = 8:3$$.

Ответ: 8:3

4. Пусть радиус окружности равен R, а центр окружности - точка О. Пусть точка B лежит на отрезке OD, где D - точка пересечения хорды с прямой, проходящей через центр окружности. Тогда BD = 8 см, BC = 12 см, следовательно, CD = BD + BC = 8 + 12 = 20 см. Так как точка B удалена от центра окружности на 5 см, то OB = 5 см. Тогда OD = OB + BD = 5 + 8 = 13 см. Составим уравнение: $$BD \cdot DC = (R - OD)(R + OD)$$, $$8 \cdot 12 = R^2 - OD^2$$, $$96 = R^2 - 13^2$$, $$96 = R^2 - 169$$, $$R^2 = 96 + 169 = 265$$, $$R = \sqrt{265} \approx 16.28$$ см.

Ответ: $$\sqrt{265}$$ ≈ 16.28

5. По теореме Менелая для треугольника ABC и прямой KPF, точки K, P и F лежат на одной прямой, если выполняется условие: $$\frac{AK}{KC} \cdot \frac{CP}{PB} \cdot \frac{BF}{FA} = 1$$. Из условия задачи известно, что $$\frac{AK}{KC} = \frac{6}{1}$$ и $$\frac{CP}{PB} = \frac{1}{3}$$. Также известно, что AB = BF, значит, AF = 2AB. $$\frac{BF}{FA} = \frac{AB}{2AB} = \frac{1}{2}$$. Подставляя эти значения в теорему Менелая, получим: $$\frac{6}{1} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = 1$$. 1 = 1. Следовательно, точки K, P и F лежат на одной прямой.

Ответ: Точки K, P и F лежат на одной прямой.