Контрольная работа № 2 Подобие треугольников 3 вариант 1. Через точку Х, лежащую вне окружности, проведены две прямые. О прямая касается окружности в точке Н. Другая прямая пересекает окружность в точках В и С, причем ХВ = 5, ХС = 45. Найдите ХН. 2. Из точки Р, лежащей вне окружности проведены лучи РА и РВ, пресекающие окружность в точках С, А и Е, В соответственно, начин точки Р. Найти длину отрезка РА и АС, если РЕ = 4, ВЕ = 21, PC = 5. На сторонах АВ и АС треугольника АВС отметили соответственно точки Д и Е так, что BD: DA = 5:1, AFIEC = 2 : 1. Отрезки ВЕ и СП пересекаются в точке Q. В каком отношении прямая AQ делит сторо ну ВС? Через точку С, находящуюся на расстоянии 11 см от центра окруж ности радиуса 13 см, проведена хорда, которая делится точкой С н отрезки, длины которых относятся как 1 : 3. Найдите длину это хорды. На сторонах АВ и АС треугольника АВС отметили соответствен точки Р и К так, что ВР : PA = 4:3, AK: KC = 3:2. На луче ВС отм тили точку D так, что ВС = CD. Докажите, что точки Р, К и D леж на одной прямой.

1. По теореме о касательной и секущей, если из точки X вне окружности проведены касательная XH и секущая XBC, то $$XH^2 = XB \cdot XC$$. Подставляя данные значения, получим: $$XH^2 = 5 \cdot 45 = 225$$. Следовательно, $$XH = \sqrt{225} = 15$$.

Ответ: 15

2. По теореме о секущих, если из точки P проведены две секущие PCA и PEB, то $$PC \cdot PA = PE \cdot PB$$. Из условия известно, что PE = 4 и BE = 21, следовательно PB = PE + EB = 4 + 21 = 25. Из условия также известно, что PC = 5. Подставим данные значения в уравнение: $$5 \cdot PA = 4 \cdot 25$$, $$PA = \frac{4 \cdot 25}{5} = 20$$. Тогда AC = PA - PC = 20 - 5 = 15.

Ответ: PA = 20, AC = 15

3. Применим теорему Менелая для треугольника ABC и прямой DE. Прямая AQ делит сторону BC в отношении, которое можно найти, используя теорему Менелая. Пусть AQ пересекает BC в точке M. Тогда, по теореме Менелая: $$\frac{BD}{DA} \cdot \frac{AE}{EC} \cdot \frac{CM}{MB} = 1$$. Из условия известно, что $$\frac{BD}{DA} = \frac{5}{1}$$ и $$\frac{AE}{EC} = \frac{2}{1}$$. Подставляя эти значения в уравнение, получим: $$\frac{5}{1} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{CM}{MB} = 1$$, $$\frac{CM}{MB} = \frac{1}{10}$$. Тогда $$\frac{BM}{MC} = \frac{10}{1}$$. Значит, прямая AQ делит сторону BC в отношении 10:1.

Ответ: 10:1

4. Пусть хорда делится точкой С на отрезки x и 3x, и пусть O - центр окружности. Тогда длина хорды равна 4x. Расстояние от точки С до центра окружности равно 11 см, а радиус окружности равен 13 см. Пусть M - середина хорды. Тогда CM = 2x. OC = 11 см, OM перпендикулярна хорде. Рассмотрим прямоугольный треугольник OMC. По теореме Пифагора: $$OM^2 + CM^2 = OC^2$$, $$OM^2 + (2x)^2 = 13^2$$, $$11^2 + (2x)^2 = 13^2$$, $$121 + 4x^2 = 169$$, $$4x^2 = 169 - 121 = 48$$, $$x^2 = 12$$, $$x = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$. Длина хорды равна 4x, то есть $$4 \cdot 2\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$$.

Ответ: $$8\sqrt{3}$$

5. По теореме Менелая для треугольника ABC и прямой PKD, точки P, K и D лежат на одной прямой, если выполняется условие: $$\frac{BP}{PA} \cdot \frac{AK}{KC} \cdot \frac{CD}{DB} = 1$$. Из условия задачи известно, что $$\frac{BP}{PA} = \frac{4}{3}$$ и $$\frac{AK}{KC} = \frac{3}{2}$$. Также известно, что BC = CD, значит, BD = 2BC. Тогда $$\frac{CD}{DB} = \frac{BC}{2BC} = \frac{1}{2}$$. Подставляя эти значения в теорему Менелая, получим: $$\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = 1$$. 1 = 1. Следовательно, точки P, K и D лежат на одной прямой.

Ответ: Точки P, K и D лежат на одной прямой.