Контрольная работа № 6 (пп. 29-30) Вариант 1 1 Представьте в виде многочлена: a) (y – 4)(y + 5); б) (За + 2b)(5a – b); в) (x - 3)(x² + 2x – 6). 2 Разложите на множители: a) b(b + 1) – 3(b + 1); б) са - св + 2a - 2b. 3 Упростите выражение (а2 – b²)(2a + b) – ab(a + b). 4 Докажите тождество (х – 3)(x + 4) = x(x + 1) – 12. 5 Ширина прямоугольника вдвое меньше его длины. Если ширину увеличить на 3 см, а длину — на 2 см, то площадь его увеличится на 78 см². Найдите длину и ширину прямоугольника.

Ответ: Решения ниже

1. Представьте в виде многочлена:

• а) (y – 4)(y + 5)

  Логика такая: раскрываем скобки и упрощаем выражение.

  \[ (y - 4)(y + 5) = y^2 + 5y - 4y - 20 = y^2 + y - 20 \]

  Ответ: \[ y^2 + y - 20 \]

• б) (3a + 2b)(5a – b)

  Логика такая: раскрываем скобки и упрощаем выражение.

  \[ (3a + 2b)(5a - b) = 15a^2 - 3ab + 10ab - 2b^2 = 15a^2 + 7ab - 2b^2 \]

  Ответ: \[ 15a^2 + 7ab - 2b^2 \]

• в) (x - 3)(x² + 2x – 6)

  Логика такая: раскрываем скобки и упрощаем выражение.

  \[ (x - 3)(x^2 + 2x - 6) = x^3 + 2x^2 - 6x - 3x^2 - 6x + 18 = x^3 - x^2 - 12x + 18 \]

  Ответ: \[ x^3 - x^2 - 12x + 18 \]

2. Разложите на множители:

• а) b(b + 1) – 3(b + 1)

  Логика такая: выносим общий множитель за скобки.

  \[ b(b + 1) - 3(b + 1) = (b + 1)(b - 3) \]

  Ответ: \[ (b + 1)(b - 3) \]

• б) са - св + 2a - 2b

  Логика такая: группируем слагаемые и выносим общий множитель за скобки.

  \[ ca - cb + 2a - 2b = c(a - b) + 2(a - b) = (a - b)(c + 2) \]

  Ответ: \[ (a - b)(c + 2) \]

3. Упростите выражение (а² – b²)(2a + b) – ab(a + b)

Логика такая: раскрываем скобки и упрощаем выражение.

\[ (a^2 - b^2)(2a + b) - ab(a + b) = 2a^3 + a^2b - 2ab^2 - b^3 - a^2b - ab^2 = 2a^3 - 3ab^2 - b^3 \]

Ответ: \[ 2a^3 - 3ab^2 - b^3 \]

4. Докажите тождество (х – 3)(x + 4) = x(x + 1) – 12

Логика такая: упрощаем обе части равенства, чтобы показать, что они равны.

• Левая часть:

  \[ (x - 3)(x + 4) = x^2 + 4x - 3x - 12 = x^2 + x - 12 \]

• Правая часть:

  \[ x(x + 1) - 12 = x^2 + x - 12 \]

Так как обе части равны \[ x^2 + x - 12 \], то тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

5. Задача на составление уравнения:

Обозначим ширину прямоугольника как w, а длину как l. Из условия задачи известно, что ширина вдвое меньше длины, то есть \[ l = 2w \]. Площадь прямоугольника равна \[ S = l \cdot w \]. После увеличения сторон прямоугольника на 3 см и 2 см соответственно, новая ширина будет \[ w + 3 \], а новая длина \[ l + 2 \]. Новая площадь будет \[ (w + 3)(l + 2) \], и она увеличится на 78 см², то есть:

\[ (w + 3)(l + 2) = lw + 78 \]

Так как \[ l = 2w \], то подставим это значение в уравнение:

\[ (w + 3)(2w + 2) = 2w^2 + 78 \]

Раскрываем скобки:

\[ 2w^2 + 2w + 6w + 6 = 2w^2 + 78 \]

Упрощаем уравнение:

\[ 8w + 6 = 78 \]

\[ 8w = 72 \]

\[ w = 9 \]

Теперь найдем длину:

\[ l = 2w = 2 \cdot 9 = 18 \]

Ответ: Ширина прямоугольника равна 9 см, а длина равна 18 см.