Контрольная работа № 4 «Преобразования плоскости. Движения» Вариант 2 №1. Начертите параллелограмм ABCD. Постройте образ этого параллелограмма: а) при симметрии относительно точки С; б) при симметрии относительно прямой CD ; в) при параллельном переносе на вектор АС; г) при повороте вокруг точки А на 500 против часовой стрелке. №2. Докажите, что прямая, содержащая середины противоположных сторон параллелограмма, проходит через точку пересечения его диагоналей. №3*. Начертите два параллельных отрезка, длины которых равны. Постройте центр поворота, при котором один отрезок отображается на другой.

• a) Симметрия относительно точки C:

Постройте параллелограмм ABCD. Чтобы построить образ параллелограмма при симметрии относительно точки C, нужно построить точки, симметричные каждой вершине параллелограмма относительно точки C. Для этого соедините каждую вершину с точкой C и отложите на продолжении этого отрезка отрезок такой же длины. Полученные точки A', B', C', D' будут вершинами нового параллелограмма A'B'C'D', симметричного ABCD относительно точки C.

• б) Симметрия относительно прямой CD:

Постройте параллелограмм ABCD. Чтобы построить образ параллелограмма при симметрии относительно прямой CD, нужно построить точки, симметричные каждой вершине параллелограмма относительно прямой CD. Вершины C и D останутся на месте, так как они лежат на прямой CD. Для вершин A и B опустите перпендикуляры на прямую CD и отложите на продолжении этих перпендикуляров отрезки такой же длины. Полученные точки A' и B' будут вершинами нового параллелограмма A'B'CD, симметричного ABCD относительно прямой CD.

• в) Параллельный перенос на вектор AC:

Постройте параллелограмм ABCD. Чтобы построить образ параллелограмма при параллельном переносе на вектор AC, нужно перенести каждую вершину параллелограмма на вектор AC. Для этого от каждой вершины отложите вектор, равный вектору AC. Полученные точки A', B', C', D' будут вершинами нового параллелограмма A'B'C'D', полученного параллельным переносом ABCD на вектор AC.

• г) Поворот вокруг точки А на 50° против часовой стрелки:

Постройте параллелограмм ABCD. Чтобы построить образ параллелограмма при повороте вокруг точки A на 50° против часовой стрелки, нужно повернуть каждую вершину параллелограмма вокруг точки A на 50° против часовой стрелки. Точка A останется на месте. Для вершин B, C, D постройте окружности с центром в точке A и радиусами AB, AC, AD соответственно. Затем отложите от лучей AB, AC, AD углы 50° против часовой стрелки. Точки пересечения новых лучей с окружностями будут вершинами B', C', D' нового параллелограмма AB'C'D', полученного поворотом ABCD вокруг точки A на 50° против часовой стрелки.

Доказательство:

• Пусть ABCD — данный параллелограмм, O — точка пересечения его диагоналей.
• Пусть M и N — середины сторон AB и CD соответственно.
• Проведём прямую MN.
• Так как O — середина AC и BD (свойство диагоналей параллелограмма), то AO = OC и BO = OD.
• Рассмотрим треугольники AMO и CNO. У них:
• AM = CN (так как AM = 1/2 AB, CN = 1/2 CD, и AB = CD как противоположные стороны параллелограмма)
• ∠MAO = ∠NCO (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC)
• ∠AMO = ∠CNO (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей MN)
• Следовательно, треугольники AMO и CNO равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (первый признак равенства треугольников).
• Из равенства треугольников следует, что AO = CO, то есть точка O лежит на прямой MN.
• Таким образом, прямая, содержащая середины противоположных сторон параллелограмма, проходит через точку пересечения его диагоналей.

Построение:

• Начертите два параллельных отрезка AB и CD равной длины.
• Соедините концы отрезков A и C, B и D.
• Найдите середины отрезков AC и BD. Обозначьте их точками E и F соответственно.
• Соедините точки E и F.
• Середина отрезка EF является центром поворота, при котором один отрезок отображается на другой.