Контрольная работа № 3 Признаки подобия треугольника Вариант 2 1. На рисунке MN || АС. Найдите MN, если AM = 6 см, ВМ = 8 см, АС = 21 см. 2. Даны стороны треугольников РКМ и АВС: РК = 16 см, КМ = 20 см, РМ = 28 см и АВ = 12 см, ВС = 15 см, АС = 21 см. Найдите отношение площадей этих треугольников. 3. Столб высотой 9 м отбрасывает теньдлиной 2 м. Найди длину (в м) тени человека ростом 1,8 м, стояще- го около этого столба.

Давай решим задачи по порядку.

Задача 1:

На рисунке MN || AC. Найдите MN, если AM = 6 см, BM = 8 см, AC = 21 см.

Треугольники BMN и BAC подобны, так как MN || AC. Значит, соответствующие стороны пропорциональны. Можем записать следующее отношение:

\[ \frac{MN}{AC} = \frac{BM}{BA} \]

Нам известно, что BM = 8 см, AC = 21 см и AM = 6 см. Тогда BA = BM + MA = 8 + 6 = 14 см. Подставим известные значения в отношение:

\[ \frac{MN}{21} = \frac{8}{14} \]

Теперь найдем MN:

\[ MN = \frac{8}{14} \times 21 = \frac{8 \times 21}{14} = \frac{8 \times 3}{2} = 4 \times 3 = 12 \]

Значит, MN = 12 см.

Задача 2:

Даны стороны треугольников PКM и ABC: РК = 16 см, КМ = 20 см, РМ = 28 см и АВ = 12 см, ВС = 15 см, АС = 21 см. Найдите отношение площадей этих треугольников.

Для начала проверим, подобны ли треугольники PKM и ABC. Для этого сравним отношения соответствующих сторон:

\[ \frac{PK}{AB} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} \] \[ \frac{KM}{BC} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3} \] \[ \frac{PM}{AC} = \frac{28}{21} = \frac{4}{3} \]

Так как отношения всех трех сторон равны, треугольники PKM и ABC подобны с коэффициентом подобия k = 4/3.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

\[ \frac{S_{PKM}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9} \]

Значит, отношение площадей треугольников PKM и ABC равно 16/9.

Задача 3:

Столб высотой 9 м отбрасывает тень длиной 2 м. Найди длину (в м) тени человека ростом 1,8 м, стоящего около этого столба.

Здесь мы имеем дело с подобием треугольников. Высота столба и длина его тени образуют один треугольник, а высота человека и длина его тени образуют другой подобный треугольник. Отношение высоты к длине тени должно быть одинаковым для обоих объектов.

Отношение высоты столба к длине его тени:

\[ \frac{9}{2} \]

Пусть x – длина тени человека. Тогда отношение высоты человека к длине его тени:

\[ \frac{1.8}{x} \]

Приравниваем эти отношения:

\[ \frac{9}{2} = \frac{1.8}{x} \]

Теперь найдем x:

\[ x = \frac{1.8 \times 2}{9} = \frac{3.6}{9} = 0.4 \]

Значит, длина тени человека равна 0.4 м.

Ответ: MN = 12 см; Отношение площадей = 16/9; Длина тени человека = 0.4 м