Контрольная работа № 6 Арифметическая и геометрическая прогрессии І вариант 1. (16). Первый член арифметической прогрессии а₁ = -4, а разность d = 2. Найдите пятый член этой прогрессии. 2. (16). а, - арифметическая прогрессия. Найдите а 12, если а₁ = 13, а₂ = -12,3 3. (16). Найдите сумму восьми первых членов арифметической прогрессии а„, если а₁ =5, а = 17. 4. (16) Найти шестой член геометрической прогрессии вп, если в₁=27 и q= 5. Найдите сумму шести членов геометрической прогрессии вп, если в₁=2, q=3 6. (26). Последовательность (а) — арифметическая прогрессия. Найдите сумму первых 16 членов прогрессии, если а6 = 27, а 11 = 47. 7. (26) Последовательность а„ — арифметическая прогрессия, где а₁ = 25,5, а=5,5. Является число 54,5 членом этой прогрессии? ІІ вариант 1. (16). Первый член арифметической прогрессии а₁ = -8, а разность d = 5. Найдите пятнадцатый член этой прогрессии. 2. (16). а, - арифметическая прогрессия. Найдите разность арифметической прогрессии, если а₁ = 3, a5=19 3. (16). Найдите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии ап, если а₁ =9, a₁ = 45. 4. Найти седьмой член геометрической прогрессии вп, если в₁ = - 32 и q= 5. Найдите сумму семи членов геометрической прогрессии в₁, если b₁=6, q=2 6. (26) Последовательность а прогрессии, если а6 арифметическая прогрессия. Найдите сумму первых 26 членов 31, a = 56. 7. (26) Последовательность а„ арифметическая прогрессия, где а₁ = 11,6, 8. а 15-17,2. Является число 30,4 членом этой прогрессии? 1 вариант 1. (16). Первый член арифметической прогрессии а₁ = -4, а разность d = 2. Найдите пятый член этой прогрессии. 2. (16). а, - арифметическая прогрессия. Найдите а 12, если а₁ = - 13, а₂ = -12,3 3. (16). Найдите сумму восьми первых членов арифметической прогрессии а„, если а₁ =5, а₃ = 17. 4. (16) Найти шестой член геометрической прогрессии вп, если в₁=27 и q= 5. Найдите сумму шести членов геометрической прогрессии bn, если b₁=2, q=3 6. (26). Последовательность (а) — арифметическая прогрессия. Найдите сумму первых 16 членов прогрессии, если а = 27, а 11 = 47. 7. (26) Последовательность а„ — арифметическая прогрессия, где а₁ = 25,5, а=5,5. Является число 54,5 членом этой прогрессии?

Ответ: Решения ниже

I Вариант

1. Найдём пятый член арифметической прогрессии.

• Формула n-го члена арифметической прогрессии: \[a_n = a_1 + (n-1)d\]
• Подставляем известные значения: \[a_5 = -4 + (5-1) \cdot 2 = -4 + 8 = 4\]

Ответ: 4

2. Найдём a₁₂ для арифметической прогрессии.

• Разность арифметической прогрессии: \[d = a_2 - a_1 = -12.3 - (-13) = 0.7\]
• Формула n-го члена: \[a_n = a_1 + (n-1)d\]
• Тогда: \[a_{12} = -13 + (12-1) \cdot 0.7 = -13 + 7.7 = -5.3\]

Ответ: -5.3

3. Найдём сумму восьми первых членов арифметической прогрессии.

• Найдём разность: \[d = \frac{a_3 - a_1}{3-1} = \frac{17 - 5}{2} = \frac{12}{2} = 6\]
• Сумма n первых членов: \[S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n\]
• Подставляем: \[S_8 = \frac{2 \cdot 5 + (8-1) \cdot 6}{2} \cdot 8 = \frac{10 + 42}{2} \cdot 8 = \frac{52}{2} \cdot 8 = 26 \cdot 8 = 208\]

Ответ: 208

4. Найдём шестой член геометрической прогрессии.

• Знаменатель: \[q = \pm \sqrt{\frac{1}{27}} = \pm \frac{1}{\sqrt{27}}\]
• Т.к. q не определён однозначно, то и a₆ определить нельзя.

Ответ: невозможно определить.

5. Найдём сумму шести членов геометрической прогрессии.

• Сумма n первых членов геометрической прогрессии: \[S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}\]
• Подставляем: \[S_6 = \frac{2(3^6 - 1)}{3 - 1} = \frac{2(729 - 1)}{2} = 728\]

Ответ: 728

6. Найдём сумму первых 16 членов арифметической прогрессии.

• Формула n-го члена: \[a_n = a_1 + (n-1)d\]
• Выразим a₆ и a₁₁ через a₁ и d: \[a_6 = a_1 + 5d = 27\] и \[a_{11} = a_1 + 10d = 47\]
• Вычитаем первое уравнение из второго: \[5d = 20 \Rightarrow d = 4\]
• Тогда: \[a_1 = 27 - 5d = 27 - 5 \cdot 4 = 7\]
• Сумма n первых членов: \[S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n\]
• Подставляем: \[S_{16} = \frac{2 \cdot 7 + (16-1) \cdot 4}{2} \cdot 16 = \frac{14 + 60}{2} \cdot 16 = 37 \cdot 16 = 592\]

Ответ: 592

7. Проверим, является ли число 54.5 членом этой прогрессии.

• Формула n-го члена: \[a_n = a_1 + (n-1)d\]
• Найдём d: \[d = a_2 - a_1 = 5.5 - 25.5 = -20\]
• Тогда: \[54.5 = 25.5 + (n-1)(-20)\] \[54.5 - 25.5 = (n-1)(-20)\] \[29 = -20(n-1)\] \[n = -\frac{29}{20} + 1 = -0.45\]
• Т.к. n не является натуральным числом, то 54.5 не является членом этой прогрессии.

Ответ: нет, не является.

II Вариант

1. Найдём пятнадцатый член арифметической прогрессии.

• Формула n-го члена: \[a_n = a_1 + (n-1)d\]
• Подставляем: \[a_{15} = -8 + (15-1) \cdot 5 = -8 + 70 = 62\]

Ответ: 62

2. Найдём разность арифметической прогрессии.

• Формула n-го члена: \[a_n = a_1 + (n-1)d\]
• Выразим a₅ через a₁ и d: \[a_5 = a_1 + 4d = 19\]
• Тогда: \[3 + 4d = 19\] \[4d = 16\] \[d = 4\]

Ответ: 4

3. Найдём сумму десяти первых членов арифметической прогрессии.

• Найдём разность: \[d = \frac{a_{11} - a_1}{11-1} = \frac{45 - 9}{10} = \frac{36}{10} = 3.6\]
• Сумма n первых членов: \[S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n\]
• Подставляем: \[S_{10} = \frac{2 \cdot 9 + (10-1) \cdot 3.6}{2} \cdot 10 = \frac{18 + 32.4}{2} \cdot 10 = 25.2 \cdot 10 = 252\]

Ответ: 252

4. Найдём седьмой член геометрической прогрессии.

• Знаменатель: \[q = \pm \sqrt[3]{\frac{1}{4}}\]
• Т.к. q не определён однозначно, то и a₇ определить нельзя.

Ответ: невозможно определить

5. Найдём сумму семи членов геометрической прогрессии.

• Сумма n первых членов геометрической прогрессии: \[S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}\]
• Подставляем: \[S_7 = \frac{6(2^7 - 1)}{2 - 1} = 6(128 - 1) = 6 \cdot 127 = 762\]

Ответ: 762

6. Найдём сумму первых 26 членов арифметической прогрессии.

• Выразим a₆ и a₁₁ через a₁ и d: \[a_6 = a_1 + 5d = 31\] и \[a_{11} = a_1 + 10d = 56\]
• Вычитаем первое уравнение из второго: \[5d = 25 \Rightarrow d = 5\]
• Тогда: \[a_1 = 31 - 5d = 31 - 5 \cdot 5 = 6\]
• Сумма n первых членов: \[S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n\]
• Подставляем: \[S_{26} = \frac{2 \cdot 6 + (26-1) \cdot 5}{2} \cdot 26 = \frac{12 + 125}{2} \cdot 26 = \frac{137}{2} \cdot 26 = 137 \cdot 13 = 1781\]

Ответ: 1781

7. Проверим, является ли число 30.4 членом этой прогрессии.

• Формула n-го члена: \[a_n = a_1 + (n-1)d\]
• Найдём d: \[d = a_2 - a_1 = 17.2 - 11.6 = 5.6\]
• Тогда: \[30.4 = 11.6 + (n-1)5.6\] \[30.4 - 11.6 = (n-1)5.6\] \[18.8 = 5.6(n-1)\] \[n = \frac{18.8}{5.6} + 1 = \frac{47}{14} + 1 = \frac{61}{14} \approx 4.36\]
• Т.к. n не является натуральным числом, то 30.4 не является членом этой прогрессии.

Ответ: нет, не является.

1 Вариант (дубль)

1. Найдём пятый член арифметической прогрессии.

• Формула n-го члена арифметической прогрессии: \[a_n = a_1 + (n-1)d\]
• Подставляем известные значения: \[a_5 = -4 + (5-1) \cdot 2 = -4 + 8 = 4\]

Ответ: 4

2. Найдём a₁₂ для арифметической прогрессии.

• Разность арифметической прогрессии: \[d = a_2 - a_1 = -12.3 - (-13) = 0.7\]
• Формула n-го члена: \[a_n = a_1 + (n-1)d\]
• Тогда: \[a_{12} = -13 + (12-1) \cdot 0.7 = -13 + 7.7 = -5.3\]

Ответ: -5.3

3. Найдём сумму восьми первых членов арифметической прогрессии.

• Найдём разность: \[d = \frac{a_3 - a_1}{3-1} = \frac{17 - 5}{2} = \frac{12}{2} = 6\]
• Сумма n первых членов: \[S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n\]
• Подставляем: \[S_8 = \frac{2 \cdot 5 + (8-1) \cdot 6}{2} \cdot 8 = \frac{10 + 42}{2} \cdot 8 = \frac{52}{2} \cdot 8 = 26 \cdot 8 = 208\]

Ответ: 208

4. Найдём шестой член геометрической прогрессии.

• Знаменатель: \[q = \pm \sqrt{\frac{1}{27}} = \pm \frac{1}{\sqrt{27}}\]
• Т.к. q не определён однозначно, то и a₆ определить нельзя.

Ответ: невозможно определить.

5. Найдём сумму шести членов геометрической прогрессии.

• Сумма n первых членов геометрической прогрессии: \[S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}\]
• Подставляем: \[S_6 = \frac{2(3^6 - 1)}{3 - 1} = \frac{2(729 - 1)}{2} = 728\]

Ответ: 728

6. Найдём сумму первых 16 членов арифметической прогрессии.

• Формула n-го члена: \[a_n = a_1 + (n-1)d\]
• Выразим a₆ и a₁₁ через a₁ и d: \[a_6 = a_1 + 5d = 27\] и \[a_{11} = a_1 + 10d = 47\]
• Вычитаем первое уравнение из второго: \[5d = 20 \Rightarrow d = 4\]
• Тогда: \[a_1 = 27 - 5d = 27 - 5 \cdot 4 = 7\]
• Сумма n первых членов: \[S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n\]
• Подставляем: \[S_{16} = \frac{2 \cdot 7 + (16-1) \cdot 4}{2} \cdot 16 = \frac{14 + 60}{2} \cdot 16 = 37 \cdot 16 = 592\]

Ответ: 592

7. Проверим, является ли число 54.5 членом этой прогрессии.

• Формула n-го члена: \[a_n = a_1 + (n-1)d\]
• Найдём d: \[d = a_2 - a_1 = 5.5 - 25.5 = -20\]
• Тогда: \[54.5 = 25.5 + (n-1)(-20)\] \[54.5 - 25.5 = (n-1)(-20)\] \[29 = -20(n-1)\] \[n = -\frac{29}{20} + 1 = -0.45\]
• Т.к. n не является натуральным числом, то 54.5 не является членом этой прогрессии.

Ответ: нет, не является.

Ответ: Решения выше