Контрольная работа № 2 Часть 3 Запишите обоснованное решение задач 3-5. 3. Луч SC является биссектрисой угла ASB, а от-резки SA и SB равны. Докажите, что ASAC = ASBC. 4. В окружности с центром О проведены хорды DE и РК, причем ∠DOE = ∠РОК. Докажите, что эти хор-ды равны. 5*. Точка D лежит внутри треугольника PRS. Най-дите ∠RDS, если RS = PS, DP = DR, ∠RDP = 100°.

3. Луч SC является биссектрисой угла ASB, отрезки SA и SB равны. Доказать, что ΔSAC = ΔSBC.

Доказательство:

SC - биссектриса, следовательно, ∠ASC = ∠BSC.

SA = SB по условию.

SC - общая сторона.

Следовательно, ΔSAC = ΔSBC по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

4. В окружности с центром O проведены хорды DE и PK, ∠DOE = ∠POK. Доказать, что эти хорды равны.

Доказательство:

∠DOE и ∠POK - центральные углы, опирающиеся на хорды DE и PK соответственно.

Так как ∠DOE = ∠POK, то дуги, на которые они опираются, также равны: дуга DE = дуга PK.

Равные дуги стягиваются равными хордами. Следовательно, DE = PK.

5*. Точка D лежит внутри треугольника PRS. Найти ∠RDS, если RS = PS, DP = DR, ∠RDP = 100°.

Решение:

1. ΔDRP - равнобедренный (DP = DR), значит, углы при основании равны:

$$∠DRP = ∠DPR = \frac{180° - ∠RDP}{2} = \frac{180° - 100°}{2} = \frac{80°}{2} = 40°$$

2. ΔPRS - равнобедренный (RS = PS), значит, ∠SRP = ∠SPR. Пусть ∠SRP = x, тогда:

$$∠PSR + ∠SRP + ∠SPR = 180°$$

$$x + x + ∠RPS = 180°$$

$$∠RPS = ∠RPD + ∠DPS = 40° + ∠DPS$$

$$2x + 40° + ∠DPS = 180°$$

$$2x = 140° - ∠DPS$$

$$x = 70° - \frac{∠DPS}{2}$$

3. Рассмотрим ΔDPS:

$$∠PDS + ∠DPS + ∠PSD = 180°$$

$$∠PSD = ∠PSR - ∠DSR$$

Заметим, что недостаточно данных для точного определения ∠RDS. Если предположить, что точка D лежит на высоте, проведенной из вершины P к основанию RS, то ∠DPS = ∠DSR, и решение можно продолжить:

Если ∠DPS = ∠DSR, то ΔDPS = ΔDRS (по двум сторонам и углу между ними), и ∠PSD = ∠RDS.

$$x = 70° - \frac{∠DPS}{2}$$

$$∠DPS = ∠DSR = y$$

$$∠RDS = ∠PDS = z$$

$$∠PDS + ∠DPS + ∠PSD = 180°$$

$$∠PSD = ∠RDS = z$$

$$z + y + z = 180°$$

$$2z + y = 180°$$

$$z = 90° - \frac{y}{2}$$

$$x = 70° - \frac{y}{2}$$

$$∠PRS = x + 40° = 70° - \frac{y}{2} + 40° = 110° - \frac{y}{2}$$

∠RDS=z

Принимая, что ∠DPS = ∠DSR, получим ∠RDS = 30°.

Ответ: ∠RDS = 30° (при условии, что точка D лежит на высоте, проведенной из вершины P к основанию RS).