Контрольная работа № 7 «Дробные рациональные уравнения» Вариант 1 1. Решите уравнение: а) \frac{x²}{x+3} = \frac{2x+3}{x+3}; б) \frac{2x}{x+6} - \frac{144}{x²-36} =1. 2. Решите графически уравнение \frac{4}{x} = 3-x. 3. Катер проплыл 30 км по течению реки и 13 км против течения, затратив на весь путь 1 ч 30 мин. Какова собственная скорость катера, если скорость течения реки равна 2 км/ч?

1. Решение уравнений:

а) Решим уравнение \(\frac{x^2}{x+3} = \frac{2x+3}{x+3}\)

Логика такая:

• Переносим все в одну сторону: \(\frac{x^2}{x+3} - \frac{2x+3}{x+3} = 0\)
• Приводим к общему знаменателю: \(\frac{x^2 - (2x+3)}{x+3} = 0\)
• Упрощаем числитель: \(\frac{x^2 - 2x - 3}{x+3} = 0\)
• Решаем квадратное уравнение: \(x^2 - 2x - 3 = 0\)

Показать пошаговые вычисления квадратного уравнения

Дискриминант: \(D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16\)

Корни: \(x_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3\), \(x_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1\)

• Проверяем ОДЗ: \(x
  eq -3\). Оба корня удовлетворяют условию.

Ответ: \(x_1 = 3, x_2 = -1\)

б) Решим уравнение \(\frac{2x}{x+6} - \frac{144}{x^2-36} = 1\)

Смотри, тут всё просто:

• Приводим к общему знаменателю: \(\frac{2x}{x+6} - \frac{144}{(x+6)(x-6)} = 1\)
• Умножаем обе части на общий знаменатель: \(2x(x-6) - 144 = (x+6)(x-6)\)
• Раскрываем скобки: \(2x^2 - 12x - 144 = x^2 - 36\)
• Переносим все в одну сторону: \(x^2 - 12x - 108 = 0\)

Показать пошаговые вычисления квадратного уравнения

Дискриминант: \(D = (-12)^2 - 4(1)(-108) = 144 + 432 = 576\)

Корни: \(x_1 = \frac{12 + \sqrt{576}}{2} = \frac{12 + 24}{2} = 18\), \(x_2 = \frac{12 - \sqrt{576}}{2} = \frac{12 - 24}{2} = -6\)

• Проверяем ОДЗ: \(x
  eq -6, x
  eq 6\). Корень \(x_2 = -6\) не удовлетворяет условию.

Ответ: \(x = 18\)

2. Решение графически уравнения \(\frac{4}{x} = 3-x\)

Разбираемся:

Нужно построить графики функций \(y = \frac{4}{x}\) и \(y = 3-x\) и найти точки пересечения.

График \(y = \frac{4}{x}\) - гипербола.

График \(y = 3-x\) - прямая.

Точки пересечения графиков будут решениями уравнения.

Корни уравнения: x = -1 и x = 4

3. Задача про катер:

Пусть x - собственная скорость катера (км/ч).

Тогда скорость по течению: x + 2 (км/ч), а против течения: x - 2 (км/ч).

Время, затраченное на путь по течению: \(\frac{30}{x+2}\) (ч), а против течения: \(\frac{13}{x-2}\) (ч).

Общее время в пути: 1 час 30 минут = 1.5 часа.

Составляем уравнение: \(\frac{30}{x+2} + \frac{13}{x-2} = 1.5\)

Умножаем обе части уравнения на \((x+2)(x-2)\):

\(30(x-2) + 13(x+2) = 1.5(x^2 - 4)\)

Раскрываем скобки:

\(30x - 60 + 13x + 26 = 1.5x^2 - 6\)

Приводим подобные члены:

\(43x - 34 = 1.5x^2 - 6\)

Умножаем на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей:

\(86x - 68 = 3x^2 - 12\)

\(3x^2 - 86x + 56 = 0\)

Показать пошаговые вычисления квадратного уравнения

Дискриминант: \(D = (-86)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 56 = 7396 - 672 = 6724\)

Корень из дискриминанта: \(\sqrt{6724} = 82\)

Корни: \(x_1 = \frac{86 + 82}{6} = \frac{168}{6} = 28\), \(x_2 = \frac{86 - 82}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)

Корень \(x_2 = \frac{2}{3}\) не подходит, так как скорость против течения будет отрицательной.

Ответ: 28 км/ч