Контрольная работа № 1. Электростатика и постоянный ток

Ответ: смотри решение ниже

ВАРИАНТ 1

1. Задача 1:

   Внутри плоского конденсатора с площадью пластин 200 см² и расстоянием между ними 1 мм, заряженного до 400 В, находится пластина из эбонита (диэлектрическая проницаемость \( \varepsilon = 3 \)), заполняющая конденсатор. Найти работу удаления пластины, если конденсатор отсоединен от батареи.

   • Площадь пластин: \( S = 200 \text{ см}^2 = 0.02 \text{ м}^2 \)

   • Расстояние между пластинами: \( d = 1 \text{ мм} = 0.001 \text{ м} \)

   • Напряжение: \( U = 400 \text{ В} \)

   • Диэлектрическая проницаемость: \( \varepsilon = 3 \)

   Энергия конденсатора без диэлектрика: \( W_1 = \frac{1}{2} C_0 U^2 \), где \( C_0 = \frac{\varepsilon_0 S}{d} \)

   Энергия конденсатора с диэлектриком: \( W_2 = \frac{1}{2} C U^2 \), где \( C = \varepsilon C_0 = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d} \)

   Т.к. конденсатор отключен от батареи, заряд остается постоянным, поэтому \( U = \frac{Q}{C} \).

   Работа удаления пластины: \( A = W_1 - W_2 = \frac{Q^2}{2} (\frac{1}{C_0} - \frac{1}{C}) = \frac{Q^2}{2} (\frac{d}{\varepsilon_0 S} - \frac{d}{\varepsilon \varepsilon_0 S}) \)

   Заряд на конденсаторе: \( Q = C_0 U = \frac{\varepsilon_0 S U}{d} \). Подставим \( Q \) в формулу для работы:

   \( A = \frac{(\frac{\varepsilon_0 S U}{d})^2}{2} (\frac{d}{\varepsilon_0 S} - \frac{d}{\varepsilon \varepsilon_0 S}) = \frac{\varepsilon_0 S U^2}{2d} (1 - \frac{1}{\varepsilon}) \)

   \( \varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \text{ Ф/м} \)

   \( A = \frac{8.85 \times 10^{-12} \cdot 0.02 \cdot 400^2}{2 \cdot 0.001} (1 - \frac{1}{3}) = 4.72 \times 10^{-5} \text{ Дж} = 47.2 \text{ мкДж} \)

   Ответ: 47.2 мкДж

2. Задача 2:

   Два элемента с ЭДС 1.8 В и 2.1 В и внутренними сопротивлениями соответственно 0.1 Ом и 0.2 Ом соединены параллельно одноименными полюсами. Найти разность потенциалов батареи (1.9 В).

   Решение:

   При параллельном соединении ЭДС:

   \( U = \frac{\frac{E_1}{r_1} + \frac{E_2}{r_2}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}} = \frac{\frac{1.8}{0.1} + \frac{2.1}{0.2}}{\frac{1}{0.1} + \frac{1}{0.2}} = \frac{18 + 10.5}{10 + 5} = \frac{28.5}{15} = 1.9 \text{ В} \)

   Ответ: 1.9 В

3. Задача 3:

   Воздух между пластин плоского конденсатора ионизируется, из-за чего идет ток. Найти скорость дрейфа ионов, если емкость конденсатора 50 нФ при площади пластин 250 см², а напряжение 400 В.

   Решение:

   Недостаточно данных для решения задачи. Необходимо знать силу тока или другие параметры, чтобы найти скорость дрейфа ионов.

   Формула для скорости дрейфа: \( v = \frac{I}{n \cdot A \cdot e} \), где \( I \) - ток, \( n \) - концентрация ионов, \( A \) - площадь, \( e \) - заряд иона.

ВАРИАНТ 2

1. Задача 1:

   Две больших параллельных пластины удалены на 0,5 см друг от друга и имеют поверхностную плотность заряда \( \sigma_1 = -0.3 \text{ мкКл/м}^2 \) и \( \sigma_2 = +0.2 \text{ мкКл/м}^2 \). Найти напряжение между пластинами.

   Решение:

   Расстояние между пластинами: \( d = 0.5 \text{ см} = 0.005 \text{ м} \)

   Разность плотностей заряда: \( \Delta \sigma = \sigma_2 - \sigma_1 = 0.2 \times 10^{-6} - (-0.3 \times 10^{-6}) = 0.5 \times 10^{-6} \text{ Кл/м}^2 \)

   Напряжение между пластинами: \( U = \frac{\Delta \sigma \cdot d}{\varepsilon_0} \)

   \( \varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \text{ Ф/м} \)

   \( U = \frac{0.5 \times 10^{-6} \cdot 0.005}{8.85 \times 10^{-12}} = \frac{2.5 \times 10^{-9}}{8.85 \times 10^{-12}} = 282.48 \text{ В} \)

   Ответ: 282.48 В

2. Задача 2:

   Найти сопротивление цепи, где за 2 секунды при квадратичном росте напряжения с 0 до 12 В прошел заряд 4 Кл.

   Решение:

   Закон Ома: \( U = IR \), где \( U \) - напряжение, \( I \) - ток, \( R \) - сопротивление.

   Ток: \( I = \frac{Q}{t} = \frac{4 \text{ Кл}}{2 \text{ с}} = 2 \text{ А} \)

   Среднее напряжение: \( U = 12 \text{ В} \)

   Сопротивление: \( R = \frac{U}{I} = \frac{12 \text{ В}}{2 \text{ А}} = 6 \text{ Ом} \)

   Ответ: 6 Ом

3. Задача 3:

   Два элемента с ЭДС 1.5 В и 1.6 В и равными внутренними сопротивлениями 0.2 Ом соединены параллельно одноименными полюсами и подключены к резистору 1.5 Ом. Какая мощность в нем выделится?

   Решение:

   ЭДС батареи: \( E = \frac{\frac{E_1}{r_1} + \frac{E_2}{r_2}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}} = \frac{\frac{1.5}{0.2} + \frac{1.6}{0.2}}{\frac{1}{0.2} + \frac{1}{0.2}} = \frac{7.5 + 8}{5 + 5} = \frac{15.5}{10} = 1.55 \text{ В} \)

   Внутреннее сопротивление батареи: \( r = (\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2})^{-1} = (\frac{1}{0.2} + \frac{1}{0.2})^{-1} = (5 + 5)^{-1} = \frac{1}{10} = 0.1 \text{ Ом} \)

   Общее сопротивление цепи: \( R = r + R_{\text{резистора}} = 0.1 + 1.5 = 1.6 \text{ Ом} \)

   Ток в цепи: \( I = \frac{E}{R} = \frac{1.55}{1.6} = 0.96875 \text{ А} \)

   Мощность на резисторе: \( P = I^2 R_{\text{резистора}} = (0.96875)^2 \cdot 1.5 = 1.408 \text{ Вт} \)

   Ответ: 1.408 Вт

ВАРИАНТ 3

1. Задача 1:

   По углам правильного треугольника стороной 10 см находятся одинаковые точечные заряды по 10 нКл. Найти напряженность и потенциал в центре треугольника.

   Решение:

   Сторона треугольника: \( a = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м} \)

   Заряд: \( q = 10 \text{ нКл} = 10 \times 10^{-9} \text{ Кл} \)

   Расстояние от вершины до центра: \( r = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{0.1}{\sqrt{3}} \)

   Напряженность в центре (векторная сумма): \( E = 0 \) (из-за симметрии).

   Потенциал в центре: \( \varphi = 3 \cdot \frac{kq}{r} = 3 \cdot \frac{9 \times 10^9 \cdot 10 \times 10^{-9}}{\frac{0.1}{\sqrt{3}}} = 3 \cdot 90 \cdot \sqrt{3} \cdot 10 = 4676.5 \text{ В} \)

   Ответ: E = 0 В/м, \( \varphi \) = 4676.5 В

2. Задача 2:

   Две электролитические ванны с растворами меди и серебра соединены последовательно. За 5 часов в первой ванне выделилось 10 г меди. Найти ток и массу выделившегося серебра.

   Решение:

   Время: \( t = 5 \text{ часов} = 5 \times 3600 \text{ с} = 18000 \text{ с} \)

   Масса меди: \( m_{\text{Cu}} = 10 \text{ г} = 0.01 \text{ кг} \)

   Электрохимический эквивалент меди: \( k_{\text{Cu}} = 0.329 \times 10^{-6} \text{ кг/Кл} \)

   Электрохимический эквивалент серебра: \( k_{\text{Ag}} = 1.118 \times 10^{-6} \text{ кг/Кл} \)

   Ток: \( I = \frac{m_{\text{Cu}}}{k_{\text{Cu}} t} = \frac{0.01}{0.329 \times 10^{-6} \cdot 18000} = 1.686 \text{ А} \)

   Масса серебра: \( m_{\text{Ag}} = k_{\text{Ag}} I t = 1.118 \times 10^{-6} \cdot 1.686 \cdot 18000 = 0.034 \text{ кг} = 34 \text{ г} \)

   Ответ: I = 1.686 А, \( m_{\text{Ag}} \) = 34 г

3. Задача 3:

   Потенциометр сопротивлением 1000 Ом подключен к источнику с ЭДС 150 В и внутренним сопротивлением 50 Ом. Каковы показания вольтметра сопротивлением 500 Ом, подключенного к середине и концу потенциометра?

   Решение:

   Сопротивление потенциометра: \( R_{\text{пот}} = 1000 \text{ Ом} \)

   ЭДС источника: \( E = 150 \text{ В} \)

   Внутреннее сопротивление источника: \( r = 50 \text{ Ом} \)

   Сопротивление вольтметра: \( R_{\text{вольт}} = 500 \text{ Ом} \)

   Сопротивление половины потенциометра: \( R_{\text{половина}} = \frac{R_{\text{пот}}}{2} = 500 \text{ Ом} \)

   Общее сопротивление участка с вольтметром: \( R_{\text{общ}} = \frac{R_{\text{половина}} \cdot R_{\text{вольт}}}{R_{\text{половина}} + R_{\text{вольт}}} = \frac{500 \cdot 500}{500 + 500} = 250 \text{ Ом} \)

   Сопротивление цепи: \( R_{\text{цепь}} = r + R_{\text{общ}} + R_{\text{половина}} = 50 + 250 + 500 = 800 \text{ Ом} \)

   Ток в цепи: \( I = \frac{E}{R_{\text{цепь}}} = \frac{150}{800} = 0.1875 \text{ А} \)

   Напряжение на вольтметре: \( U = I \cdot R_{\text{общ}} = 0.1875 \cdot 250 = 46.875 \text{ В} \)

   Ответ: 46.875 В

ВАРИАНТ 4

1. Задача 1:

   Внутри плоского конденсатора площадью пластин 200 см² и расстоянием между ними 1 мм, заряженного до 300 В, находится пластина из стекла (диэлектрическая проницаемость \( \varepsilon = 7 \)), заполняющая конденсатор. Найти работу удаления пластины, если конденсатор соединен с батареей.

   Решение:

   Площадь пластин: \( S = 200 \text{ см}^2 = 0.02 \text{ м}^2 \)

   Расстояние между пластинами: \( d = 1 \text{ мм} = 0.001 \text{ м} \)

   Напряжение: \( U = 300 \text{ В} \)

   Диэлектрическая проницаемость: \( \varepsilon = 7 \)

   Энергия конденсатора с диэлектриком: \( W_1 = \frac{1}{2} C U^2 = \frac{1}{2} \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d} U^2 \)

   Энергия конденсатора без диэлектрика: \( W_2 = \frac{1}{2} C_0 U^2 = \frac{1}{2} \frac{\varepsilon_0 S}{d} U^2 \)

   Работа удаления пластины: \( A = W_2 - W_1 = \frac{1}{2} \frac{\varepsilon_0 S U^2}{d} (1 - \varepsilon) \)

   \( \varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \text{ Ф/м} \)

   \( A = \frac{1}{2} \frac{8.85 \times 10^{-12} \cdot 0.02 \cdot 300^2}{0.001} (1 - 7) = -4.78 \times 10^{-5} \text{ Дж} = -47.8 \text{ мкДж} \)

   Ответ: -47.8 мкДж

Ответ: смотри решение выше