Контрольная работа №2 «Квадратичная функция» Вариант ІІ 2 1. Постройте график функции у = х - 4х - 5. Найдите с помощью графика: а) значение у при х = 0,5; б) значения х, при которых у = 3; в) нули функции; промежутки, в которых у > 0 и в которых у < 0; г) промежуток, в котором функция возрастает.

Решение:

1. Построим график функции $$y = x^2 - 4x - 5$$. Это парабола, ветви направлены вверх, так как коэффициент при $$x^2$$ равен 1 (положительный).

Найдем вершину параболы. Координата $$x$$ вершины находится по формуле: $$x_в = -\frac{b}{2a}$$, где $$a = 1$$ и $$b = -4$$.

$$x_в = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$$

Координата $$y$$ вершины:

$$y_в = (2)^2 - 4 \cdot 2 - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$$

Итак, вершина параболы в точке $$(2; -9)$$.

Найдем точки пересечения с осью $$x$$, то есть нули функции. Для этого решим уравнение:

$$x^2 - 4x - 5 = 0$$

Дискриминант:

$$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Точки пересечения с осью $$x$$: $$(5; 0)$$ и $$(-1; 0)$$.

Найдем точку пересечения с осью $$y$$. Для этого подставим $$x = 0$$ в уравнение функции:

$$y = (0)^2 - 4 \cdot 0 - 5 = -5$$

Точка пересечения с осью $$y$$: $$(0; -5)$$.

На основе этих данных построим график.

1. а) Значение $$y$$ при $$x = 0.5$$. Подставим $$x = 0.5$$ в уравнение функции: $$y = (0.5)^2 - 4 \cdot 0.5 - 5 = 0.25 - 2 - 5 = -6.75$$.
2. б) Значения $$x$$, при которых $$y = 3$$. Решим уравнение: $$x^2 - 4x - 5 = 3$$ $$x^2 - 4x - 8 = 0$$ $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 16 + 32 = 48$$ $$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{48}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 4\sqrt{3}}{2} = 2 + 2\sqrt{3} \approx 5.46$$ $$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{48}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 4\sqrt{3}}{2} = 2 - 2\sqrt{3} \approx -1.46$$
3. в) Нули функции: $$x_1 = 5$$ и $$x_2 = -1$$. Функция $$y > 0$$ при $$x < -1$$ и $$x > 5$$. Функция $$y < 0$$ при $$-1 < x < 5$$.
4. г) Функция возрастает при $$x > 2$$.

Ответ:

1. a) $$y = -6.75$$ при $$x = 0.5$$
2. б) $$x_1 = 2 + 2\sqrt{3} \approx 5.46$$, $$x_2 = 2 - 2\sqrt{3} \approx -1.46$$ при $$y = 3$$
3. в) Нули функции: $$x_1 = 5$$, $$x_2 = -1$$. $$y > 0$$ при $$x \in (-\infty; -1) \cup (5; +\infty)$$. $$y < 0$$ при $$x \in (-1; 5)$$.
4. г) Функция возрастает при $$x \in (2; +\infty)$$.